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worin Je eine ganze rationale Funktion von z ist, und die Vergleichung 
der Koeffizienten ergibt 
Je Öq — ct 0 c 0 , 
. ^ C 01 
Jcb 2 — a 0 c 2 «j Cj a 2 c 0 , 
worin die c 0 , c x , ••• c m _ n gleichfalls ohne gemeinschaftlichen Teiler 
vorausgesetzt werden können. 
Hieraus folgt zunächst, daß Je konstant sein muß, und = 1 ge 
setzt werden kann; denn ist durch irgend einen Linearfaktor von 
Je « 0 , , • • • a r _ l5 c 0 , c x , • • • Cg ! teilbar, a r , c s nicht teilbar, so folgt aus 
JcK + s = • ' • «r —1 c s + 1 4" a r c s 4" «r + 1 c s — 1 "h * * * 
der Widerspruch, daß a r c s durch denselben Linearfaktor teilbar sein 
müßte. Hieraus aber folgt weiter, daß der Grad von G (0, z) in 
bezug auf z gleich ist der Summe der Grade von F und H in bezug 
auf z; denn sind a r , c s die ersten unter den Koeffizienten a, c, deren 
Grad den Maximalwert erreicht, so folgt wieder aus 
br + s — • ’ • d r — i C s -j. i -j- Cl r C s 4" d r i C— j H , 
daß der Grad von b r + s gleich der Summe der Grade von a r und 
c s ist. 
Dividiert man die Gleichung (1) durch a 0 , so kann dieselbe auch 
in die Form gesetzt werden 
(2) /(0, z) = 6 n 6 X ß n ~ x 4~ • • • 4" b n —i ß 4- b n — o, 
worin die Koeffizienten ö x , & 2 , • • • b n auch gebrochene rationale Funktionen 
von z sein können. 
Das System aller rationalen Funktionen von ß und z, (6, z), 
hat die Eigenschaft, daß seine Individuen sich durch die elementaren 
Rechenoperationen, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division 
reproduzieren, und dies System wird daher als ein Körper alge 
braischer Funktionen vom Grade n bezeichnet. Ist zunächst 
cp(ß) eine ganze rationale Funktion von 0, deren Koeffizienten 
rational von z abhängen, so kann man durch algebraische Division 
zwei eben solche Funktionen q{ß), r{ß) bestimmen, von denen die 
zweite den Grad n — 1 nicht übersteigt, so daß 
<p{») = «w/m+«•(») 
oder wegen (2) 
cp(ß) = r{ß).