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Ist (p(ß) durch / (0) nicht teilbar, so haben diese beiden Funktionen 
[wegen der vorausgesetzten Irreduktibilität von /(0)] keinen Teiler 
gemein, und daher lassen sich durch die Methode des größten ge 
meinschaftlichen Teilers zwei Funktionen f 1 (0), cp 1 (0) so bestimmen, daß 
/ (Ö)./i (Ö) (0) (0) = I-, 
also wegen (2) 
= r(ey 
Aus diesen beiden Bemerkungen, zusammengenommen mit der Vor 
aussetzung der Irreduktibilität von /(0) ergibt sich der folgende 
Lehrsatz. Jede Funktion £ des Körpers Si läßt sich auf 
eine einzige Weise in die Form setzen: 
£ = x 0 + x 1 0 -\ h 0 n—1 , 
worin die Koeffizienten a; 0 , x^"-x n — 1 rationale Funktionen 
von 2 sind. Umgekehrt gehört jede Funktion dieser Form 
selbstverständlich dem Körper Si an. 
Wählt man unter den Funktionen des Körpers Si n beliebige aus: 
Vi = x ? + x? 0 + • • • + afiix d n ~\ 
= 4 2) + X T 0 + • • • ■+■ x n—i 0 W— h 
rj n — aq W) -f- Xi l) 0 -+-••• -F x { n—i 0 n *, 
jedoch so, daß die Determinante 
S± 4” 4". 
nicht identisch Null ist, so ergibt sich, daß jede Funktion des Körpers Si 
auch in der Form dargestellt werden kann 
£ — Ui Vi + Vi Vi H— + Vn^ni 
deren Koeffizienten i/ x , y 2 r ” y n rationale Funktionen von z sind. Ein 
solches System von Funktionen ^ 2 , • • • soll eine Basis des 
Körpers Si heißen. 
Damit ein Funktionensystem rj v y 2 , • • ■ rj n des Körpers Si eine 
Basis desselben bilde, ist erforderlich und hinreichend, daß zwischen 
ihnen keine Gleichung (Identität) von der Form 
y\ Vi + 2/2 Va + ‘ ‘' yn Vn — 0 
bestehe, in welcher die Koeffizienten y x , y 2 , • • • y n nicht sämtlich 
verschwinden. Beispielsweise bilden die Funktionen 1, 0, 0 2 , •••0 n ~ 1 
eine Basis von Si.