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§3. 
Das System der ganzen Funktionen von z im Körper Q. 
Definition. Eine Funktion cj des Körpers £1 soll eine ganze 
Funktion von z heißen, wenn in der Gleichung niedrigsten Grades, 
welcher dieselbe nach § 2 genügt; 
(1) cp (o) = ca e -j- b x ca 6 - 1 -f- • • ■ i o “h b e == 0, 
die Koeffizienten b x , ö 2 ,---6 e ganze rationale Funktionen von 2 
sind; im entgegengesetzten Fall heiße sie eine gebrochene Funktion. 
Der Inbegriff aller ganzen Funktionen von z in Si soll mit o bezeichnet 
werden. Da nach § 2 N (t — ca) eine ganze Potenz von cp (t) ist, so 
folgt, daß für eine ganze Funktion ca auch die sämtlichen Koeffizienten 
von N (t — «) ganze rationale Funktionen von z sind, also insbesondere: 
1. Die Norm und die Spur einer ganzen Funktion sind ganze 
rationale Funktionen von z. 
Aus der Definition der ganzen Funktionen ergibt sich ferner: 
2. Eine rationale Funktion von 2 gehört dann und nur dann zu 
dem System 0, wenn sie eine ganze rationale Funktion von 2 ist. 
3. Jede Funktion rj in £1 kann durch Multiplikation mit einer 
von Null verschiedenen ganzen rationalen Funktion von 2 in eine 
Funktion des Systems 0 verwandelt werden. Denn es genügt rj nach 
§ 2 einer Gleichung niedrigsten Grades von der Form 
K v e + b i -h • • • -f r\ -f b e = 0, 
deren Koeffizienten ganze rationale Funktionen von 2 sind, und diese 
geht durch die Substitution b 0 rj — ca in eine Gleichung von der 
Form (I) für ca über, 
4. Eine Funktion oj des Körpers Si, welche irgend einer Gleichung 
von der Form genügt 
ip(ca) = co m -f c 1 ca m ~ 1 -( (- c m _ 1 ca -f c m = 0, 
in welcher die Koeffizienten c x , • • • c m ganze rationale Funktionen von 2 
sind, ist eine ganze Funktion. Denn ist 
cp (ca) — ca e -f- b x ca e ~ 1 +•••-)- &«— x oj -f- b e — 0 
die Gleichung niedrigsten Grades, welcher ca genügt, so muß cp (ca) 
durch cp (ca) algebraisch teilbar sein: 
cp (ca) = cp (a) x («), 
was, wie leicht zu zeigen ist, zur Folge hat, daß auch die Koeffizienten 
von cp (ca) und % (oj) ganze rationale Funktionen von 2 sind (Gauß,