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Disq. Ar. art. 42). Hieraus ergibt sich der Hauptsatz über die ganzen 
Funktionen: 
5. Summe, Differenz, Produkt zweier ganzen Funktionen 
sind wieder ganze Funktionen. 
Sind nämlich co', ca" zwei ganze Funktionen in Sl, welche resp. 
den Gleichungen genügen 
co' n ' -p co' n — 1 -p • • • -f- b n ' — i co -p b n t = 0, 
co" n " ~p b'i -p • • • -p b n "—x co" -p b n " — 0, 
so kann man, wenn man unter co x , ca 2 , • • • ca m die m = n n" Produkte 
Co'^'Co " h " Ql' — 0,1, •••«'—1; h" = 0,1, • • -n" — l) 
und unter co eine der drei Funktionen co' + co", ca'co" versteht, setzen 
CO OJj ; i C0 1 “p • * • -p 3?!, m ®to5 
CO CO m «Tm, 1 "P * ‘ ‘ “P m 
worin die a; A) Ä / ganze rationale Funktionen von z sind, und daraus 
erhält man 
Xx, 1 — CO, Xi, 2, 
’ ‘ Xx t m 
X%, 15 
X2, 2 — ' 
■ ■ x$ t m 
= 0 
Xm, 15 
Xjn, 25 
* ‘ Xjfi^ m ~ 
- CO 
also eine Gleichung für co, deren Koeffizienten ganze rationale Funk 
tionen von z sind. 
Als Korollar ergibt sich hieraus, daß jede ganze rationale Funk 
tion von Funktionen in o selbst eine Funktion des Systems o ist. 
6. Eine ganze Funktion co heißt durch eine andere ganze Funk 
tion co' teilbar, wenn ein dritte ganze Funktion co" existiert, welche 
der Bedingung genügt 
co = co' co". 
Aus dieser Definition ergibt sich sofort: 
Ist co teilbar durch co', co' durch co", so ist auch co durch co" 
teilbar. 
Ist co' und co" durch co teilbar, so ist auch co' + co" durch co 
teilbar, und allgemein: sind co x , co 2 , co 3 ,-*-durch co teilbar, coi, co' 2 , 
co's, • • • beliebige Funktionen in o, so ist auch coi cq -p «2 co 2 ~P «3 co 3 -P • • • 
durch co teilbar.