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Die Definition des größten gemeinschaftlichen Teilers einer be 
liebigen Anzahl von Moduln ergibt sich hiernach von selbst. 
6. Definition. Ist a ein Modul, a jede Funktion in ct und 
eine beliebige Funktion in ß, so verstehen wir unter dem Produkt ¡aa oder 
aa den Inbegriff aller Funktionen ¡icc, welcher wieder ein Modul ist. Ist 
a = [«j, a a , ••• a r ] 
ein endlicher Modul, so ist 
fta = fta 2 , • • • fia r ], 
also ebenfalls ein endlicher Modul, und aus fia = ¿ib folgt a — b, 
wenn [l von Null verschieden ist. 
7. Definition. Sind a, b zwei Moduln, a, ß sämtliche Funk 
tionen in o, resp. in b, so verstehen wir unter dem Produkt 
ab = ba = c 
den Inbegriff aller Produkte einer Funktion a und einer Funktion ß 
und aller Summen solcher Produkte, also sämtlicher Funktionen, welche 
durch das Zeichen 
y = 2 « ß 
bezeichnet werden können. 
Dieses Funktionensystem bildet jederzeit einen Modul, und zwar 
einen endlichen, wenn a und b solche sind. Sind nämlich a und b 
so definiert, wie in 5., so bilden die r ■ s Funktionen a, ß x eine, wenn 
auch reduktible, Basis von c. Ein Produkt aus beliebig vielen Moduln 
a, b, c, • • • erklärt sich hiernach von selbst, und es gilt für dasselbe 
der Fundamentalsatz der Multiplikation von der Yertauschbarkeit 
der Faktoren. Sind die einzelnen Funktionen eines solchen Produkts, 
deren Anzahl m sei, einander gleich und = a, so wird dasselbe mit 
a w bezeichnet, und es ist 
Qm + m' —. (jm 
Im allgemeinen ist ein Produkt ab nicht durch a teilbar. Dagegen 
gilt der Satz, dessen Beweis sich unmittelbar aus der Definition ergibt: 
Ist a teilbar durch a x , b durchb x , so ist ab teilbar durch a x b r 
8. Definition. Unter dem Quotienten — zweier Moduln o, b 
a 
soll der Inbegiff aller derjenigen Funktionen y verstanden werden, 
welche die Eigenschaft haben, daß ya durch b teilbar ist. Dieser