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so folgt: 
z Ql = 61,1 + • • • 4~ e r, i Qr + K,! k % -J- • • • + h s , i ¿S 
Z Q r 6l, r Ql ~t~ ' ' ' “I - &r, r Qr T“ h\, r ■+■••• "(■ hg, r kg 
zk 1 = c 1) x A x -f- • • • ~h c s, i 
z kg = C li s k x -(-••• -h Cg : g kg 
und hieraus 
(mod. a) 
ei.i-z, • 
1: 
h\, i, 
' ■ • Ki 
,ri 
®r, r 2, hi t r , 
■ * h s , r 
0 
••0 
c l, 1 — Z 1 
’ ’ Cs, 1 
0 
••0 
Cl,8, 
••• Cg, s — Z 
(c,b) (b,a). 
3. Wenn die Basis-Funktionen ß 1 , ß 2 , • • • ß s eines endlichen Moduls 
b = [jöj, ß 2 , • • • ß s ] durch Multiplikation mit von Null verschiedenen 
ganzen rationalen Funktionen von z in Funktionen eines Moduls a 
verwandelt werden können, so ist die Norm von a in bezug auf b, 
(b, a) von Null verschieden. Zugleich ist das kleinste gemeinschaft 
liche Vielfache von a und b ein endlicher Modul m, von dem eine 
irreduktible Basis in der Form angenommen werden kann; 
— a i,i ßn 
(*>2 ®1, 2 ßl ®2, 2 ß%i 
[l s a l,s ßi ~F a 2, s ßi “h * ‘ a s, s ßs i 
worin die Koeffizienten a t , x ganze rationale Funktionen von z sind, 
und zwar so, daß 
(b, ß) = Cl 1 ,1 0>2, 2 ■ ■ ■ S' 
Zum Beweise dieses wichtigen Theorems nehmen wir an, es sei 
ßj der größte gemeinschaftliche Teiler von a und [ß x ], a 2 der von ß x 
und [j8 2 ] u. s. f., so daß a r der Inbegriff aller Funktionen von der Form 
cc r — a-]-y 1 ß 1 -]--’--\-y r ßr 
ist, wo a eine Funktion in a, i/ x , • • • y r ganze rationale Funktionen 
von z sind. Es ist dann a s der größte gemeinschaftliche Teiler von 
a und b. Da nun jeder Modul ß r durch den folgenden ß r+1 teilbar 
ist, so folgt aus 1. und 2. 
und es 
Es ist ai 
und nac 
rationale 
also auc 
Ist nun 
tionen x 
angenom 
ist, so s: 
durch a. 
und wer 
daß x r - 
aussetzu: 
Set; 
und besl 
und hiei 
Wenn n 
so folgt 
z 
also: 
(ß r , ß r —]