8. 
Aus den eben entwickelten Formeln bat nun Cauchy den Wert 
des Integrals B abgeleitet, aber auf eine Weise, welche in einzelnen 
Punkten einer strengeren Begründung sehr bedürftig erscheint. Sie 
besteht in folgendem: Wenn die Funktion f(z) so beschaffen ist, daß 
für jeden Wert von | /(+ 00 + = 0 und für jeden Wert von 
x f(x -J- 00 i) — 0 ist, so folgt aus den Gleichungen (22), (23) und 
(24), wenn man a — 0, /3 = 00, a = — oc, 6 = 00 setzt, 
(25) 
+ 00 
J f{x)dx = 2 jciFfc -f yi), 
worin nun y zufolge der Bedingung w < y < ß notwendig positiv 
(— zt)^ -1 
sein muß. Setzt man jetzt /(z) 
-, worin [i eine zwischen 
zz -j- 1 
0 und 2 liegende Zahl ist (unmotiviert), so sind die Bedingungen 
/(+°° + If) = 0 und f{x + 00 i) = 0 erfüllt; die Werte von x 
und £, welche f{x + |fc) unendlich machen, sind c = 0, y = 1; es 
ist daher 
irfr* ri‘ + ri> = r® = Yi 
F(z) = (z 
und folglich 
*)- 
(26) 
+ 00 
f(- 
xi)f t 
ara; + 1 
da; = 7t. 
|i <3 ist, so 
daß das Verse 
des Integrals i 
eine Grenze ui 
folgende Darst 
daß fi zwische 
Setzt mar 
so geht sie mf 
*lv 
0 
und wenn mar 
setzt: 
ifu{H 1 
0 
Wenn nun bei 
den Integralze 
Variabelen, so 
unseren P" 1 all 
kf 
Zerlegt man dies Integral in zwei andere, deren Grenzen o, 00 und 
— 00, o sind, und setzt in dem zweiten (— x) statt x, so findet man 
f x^~ 1 da; 7t 7t 7t 
XX-\-l (-J- i)^ — 1 +(— iy~ 1 
2 cos (fi — 1) 2 sin fi 
und hierin braucht man bloß x statt xx, und fi = 2 6 (wo b 
zwischen 0 und 1 liegt, wenn 0 < fi <C 2 ist) zu setzen, um die 
Gleichung (17) wieder zu erhalten. 
Hierin scheint mir namentlich die Ableitung der Gleichung (25) 
nicht ganz streng zu sein; denn wenn auch die Bedingungen 
/(i°° + = 0, f(x -f- cx> i) — 0 für jedes zwischen 0 und 2 
liegende ft erfüllt sind (eigentlich ist dazu nur erforderlich, daß 
und ähnlich di 
unendlichen Wi 
sei, wodurch al 
kann. Jedenfal 
Aus dem Gang 
daß, wenn es m 
f(x, |) unendlic 
sprechenden Au 
wenn y = a is 
gesetzt werden 
und nach der ( 
/'0 
Dedekind, Gesa