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teilbar sein (ygl. 
mrch z — c teilbar 
de Funktionen von 
mg schließt: 
z —c), 
nktionen £ 2 , £ 3 ... 
windet, sicher ge- 
z —c), 
z — c). 
-1 die höchste in 
de Potenz von 
: — c ist. 
ernach und nach 
Abgesehen) 
- c)”- s N (m), 
fgehenden Prim- 
tn) durch z — c 
n D aufgehende 
earen Ausdrücke 
ne Primfaktoren 
aufgehen, die also durch die zweite oder eine höhere Potenz eines 
Primideals teilbar sind. 
Es gibt also nur eine endliche Anzahl linearer Funk 
tionen z — c, die durch das Quadrat eines Primideals 
teilbar sind. 
Wir setzen nun 
(2) a = ny-\ 
worin sich das Produktzeichen TI auf alle diejenigen Primideale p 
bezieht, von denen eine höhere als die erste, nämlich die e te Potenz 
in ihrer Norm auf geht, und nennen dieses Ideal 5 das Yerzweigungs- 
ideal. Aus (1) und (2) folgt sofort 
(3) N(i) = D. 
Da ferner n — s e— 1, also e{n — s)— 2 (e— 1) (e— l)(e — 2) > 0 
ist, so ist D teilbar durch p 2(e ~ x) , also auch durch ¿ 2 , und man kann, 
wenn man mit b gleichfalls ein Ideal bezeichnet, setzen: 
(4) 0 D = b j 2 , N (b) = D n ~ 2 . 
3. Ist eine Funktion ^ in 0 durch jedes in z — c auf gehende 
Primideal teilbar, so ist S (p) durch z — c teilbar. 
Beweis. Es sei £ dieselbe Funktion wie in 2., so daß man 
setzen kann: 
x q — x 0 -j- £ -p £ ~P * ’' ~P —1 P 
worin die Koeffizienten x, x 0 , x v ... x n - x ganze rationale Funktionen 
von z ohne gemeinsamen Teiler sind, von denen die erste durch 
z — c nicht teilbar ist (vgl. 2.). Aus unserer Voraussetzung über 
die Funktion q folgt, wenn die Konstanten b dieselbe Bedeutung 
wie in 2. haben, 
+ »x b + Ö 2 + • 
• • -j- x n —i b n 1 = 0 
(mod. z 
-c), 
X 0 + Xj \ -f x 2 b\ + • ■ 
•• + «n-1^- 1 = 0 
(mod. z 
— c), 
x 0 -p b 2 -p x 2 b 2 -p 
•• + ®«-i b*- 1 EE 0 
(mod. z 
— c), 
und hieraus, indem man die Kongruenzen mit e, e 1 , e a , . .. multi 
pliziert und addiert: 
x 0 n + x 1 S{£) + z 2 $(£ 2 ) + • •• + x n - 1 S(£ n ~ 1 ) = x8{q) = 0 (mod.z-c),