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Ist also a eine beliebige Funktion in a, so ist arj in b enthalten, 
also jedenfalls eine ganze Funktion von z. Ist umgekehrt a eine ganze 
Funktion von z, welche die Eigenschaft hat, daß arj = ß eine ganze 
Funktion ist, so folgt 
KV = ß n, 
also nach (1) , 
w ab = /3 a; 
da nun a, b relativ prim sind, so muß a durch a, ß durch b teilbar 
sein, und daraus folgt: 
Es ist a der Inbegriff aller derjenigen ganzen Funktionen a, 
welche die Eigenschaft haben, daß a rj eine ganze Funktion ist, und 
der Inbegriff aller dieser ganzen Funktionen arj ist das Ideal b; 
oder anders ausgedrückt: 
Es ist b das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von 
o?7 und o, ebenso ci das kleinste gemeinschaftliche Viel 
fache von — und o. Hiernach muß, wenn a', b' zwei der Bedingung 
V 
a' rj = b' 
genügende Ideale sind, a' durch a teilbar sein. Sei also 
so folgt; 
a' = na, 
b' = n a rj — n b. 
Umgekehrt ist auch für ein beliebiges Ideal n 
na 77 == nb. 
2, Es seien jetzt a, b zwei der Bedingung 
arj — b 
genügende Ideale, gleichviel ob relativ prim oder nicht. Der Quotient 
b . 
— ist nach § 4, 8. der Inbegriff aller derjenigen Funktionen y, welche 
die Eigenschaft haben, daß ay durch b teilbar ist. Zu diesen Funk 
tionen gehören gewiß alle Funktionen von der Form ca rj, wenn ca 
eine beliebige Funktion in o bedeutet. Aber auch umgekehrt ist 
jede Funktion y von dieser Form; denn da ay durch b, also auch 
durch o teilbar ist, so ist es ein Ideal (da es die Eigenschaften 
I., II., § 7 besitzt), also wenn c gleichfalls ein Ideal ist; 
a y = c b 
und durch Multiplikation mit rj 
b y — ehr]. 
Ist nun wie ( 
so folgt hie] 
also; 
Beides zusai 
(3) 
Sind in dies 
nur auf ein« 
ideal, a da 
3. Ist 
und a eine b( 
Hieraus folj 
4. Sin* 
gleichviel o 
Es folgen a 
die Gleichu: 
5. Ist 
ein Ideal i 
auch a {rj + 
so folgt