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welcher dies Primideal erzeugt, und welcher der Nullpunkt des 
Ideals 1) genannt werden soll. 
Beweis. Es sei rj eine beliebige Funktion in ii, und q eine 
solche, deren Oberideal durch p, aber nicht durch p 2 teilbar ist. Es 
lassen sich dann nach § 12, 6. stets und nur auf eine Weise eine 
ganze Zahl w, eine von Null verschiedene endliche Konstante c und 
eine Funktion rj x , deren Unterideal nicht durch p teilbar ist, so be 
stimmen, daß 
je nachdem m positiv, Null oder negativ ist. Dieser Wertbestimmung 
der Funktionen des Körpers Sl entspricht ein Punkt da die Be 
dingungen (I.) bis (Y.), wie man sofort übersieht, erfüllt sind*). 
Jede Funktion, deren Oberideal durch p teilbar ist, also ins 
besondere jede Funktion in 1) erhält nach dieser Festsetzung in ^ 
den Wert Null, d. h. der so bestimmte Punkt erzeugt das Prim- 
ideal p. 
Jede Funktion, deren ünterideal durch p teilbar ist, und nur 
eine solche hat in $ den Wert oo, und daraus geht hervor, daß 
eine ganze Funktion von z in keinem Punkte, in welchem 2 einen 
endlichen W ert hat, unendlich ist, und, da eine gebrochene Funktion 
von z im Unterideal gewiß ein Primideal enthält, also mindestens 
in einem Punkte, in welchem z endlich ist, unendlich sein muß, so 
ist auch umgekehrt jede Funktion, die in keinem Punkte, in welchem z 
einen endlichen Wert hat, unendlich ist, eine ganze Funktion von z. 
6. Aus 3., 4., 5. ergibt sich nun das folgende Resultat. Um 
alle existierenden Punkte $ und jeden nur ein einziges Mal zu er 
halten, ergreife man eine beliebige Variable z des Körpers man 
bilde alle Primideale p in z und konstruiere für jedes derselben den 
Nullpunkt, so sind alle diejenigen Punkte s h gefunden, in denen z 
*) Ist 7]' — c' m ' -f- v'l <? m ' + 1 , so ist z. B. 
eine Funktion von derselben Beschaffenheit ist wie rj x (noch einfacher ist der 
Beweis in den übrigen Fällen). 
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