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ÜSis 
den Wert einer 
pbt sich, daß die 
gleich ist der 
ind ß — ß 0 . Ist 
• unendlich. Ist 
3n 0 verschieden, 
diese Werte end- 
ß — ßo in so 
nal resp. (6 — 1)- 
vor. Ist aber a 
ind Entsprechen- 
t man also mit 
iie Ordnungszahl 
ir diese Funktion 
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24. 
Das Geschlecht des Körpers ß. 
1. Bezeichnet man mit w a , vfp die Verzweigungszahlen, mit n a , 
np die Ordnungen der Variablen a, /3, so folgt aus der Formel (9) 
des vorigen §, da Zähler und Nenner von ^ gleichviel Punkte ent 
halten müssen, die wichtige Relation 
w a —2 n a — vf p 2 np\ 
wenn man also 
(1) p = \vf — n -f 1 
setzt, welches nach § 22, 4. eine ganze Zahl ist, so ist diese von der 
Wahl der Variablen unabhängig und eine für den Körper Sl charakte 
ristische Zahl, welche das Geschlecht des Körpers ß genannt wird. 
Daß diese Zahl niemals negativ ist, ergibt sich, wenn man für |w 
den Wert \~r n aus § 22 einsetzt. Man erhält dann 
(2) V = (r 2 — l) + (r 3 — !) + ••• + (r n —1), 
was, da r 2 , r s , ... r n ^> 1 sind, nicht negativ werden kann. 
2. Es seien «, ß zwei Funktionen in £i von den Ordnungen m, n, 
von der Beschaffenheit, daß alle Funktionen in il rational durch 
«, ß darstellbar sind. Es ist dann 
F (a, ß) = %a n -f a, a"“ 1 -\ (- a n ~ 1 a + a n 
= b 0 ß^+ b.ßrn-i + ... + bm _ x ß +bm = o 
die zwischen a, ß bestehende irreduktible Gleichung, worin a 0 , a v ... a n 
ganze rationale Funktionen von ß, ebenso 6 0 , b v ... b m ganze rationale 
Funktionen von a sind. 
Es sei ferner 
a ~~ 31 ’ ^ “ s 
und relativ prim zu 21, 33j zu 33, so daß 31, 3^ von der Ordnung m, 
33, 33j von der Ordnung n sind. Nun ist 
F'{oc) = na 0 a n ~ 1 + (n — 1 )a 1 a n ~ 2 -\ h a n -1, 
ccF'(a;) = —a 1 cx, n ~ 1 — 2 a i a n ~ 2 na n , 
woraus hervorgeht, daß 
Ä 
F'(«) 
%n-2)Qm