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halten, hat man unter den Funktionen in e diejenigen aufzusuchen, 
welche der Bedingung II. genügen. 
2. Zu diesem Zwecke legen wir eine Normalbasis A x , A 2 , ... l n 
von o zugrunde (§ 22) und bezeichnen die dazu komplementäre Basis 
mit [i v ... (i n , so daß jede der Bedingung I. genügende Funktion, 
also auch jeder Differential quotient erster Gattung, in der Form ent 
halten ist 
(1) u — Ui ~h 2/2 “h • • • + Vnpm 
worin y v y 2 , ... y n ganze rationale Funktionen von z sind. Aus 
den Grundeigenschaften der komplementären Basis ergibt sich aber 
(§ 10, 3.) 
y* = S(ux s )-, 
Vs 
S [uz- 
Da nun — in 0' enthalten, also für z = 00 endlich ist, und uz 
z r * 
nach II. in jedem solchen Punkte verschwindet, so folgt (§16, 5.), 
daß 
y 
— für z — 00 verschwinden muß, d. h. daß die ganze rationale 
Funktion y s den Grad r s — 2 nicht übersteigen kann. 
Es muß daher, falls r s << 2 ist, y s verschwinden, also ist unter 
allen Umständen (§ 22, 2.) 
y i = 0; S(u) — 0 
(Abelsches Theorem für Differentiale erster Gattung) und, 
falls r s ^ 2: 
( 2 ) y s = C 0 +C 1 2 + C 2 Z 2 + -+V2^~ 2 - 
Es ist noch zu zeigen, daß diese Bedingungen auch hinreichend sind, 
d. h. daß jede Funktion von der Form (1), in welcher die y s den 
Ausdruck (2) haben, der Forderung II. genügt, oder, was dasselbe 
ist, daß, wenn r s 2 ist, z r$ ” 1 y s in allen Punkten, in welchen z 
unendlich wird, verschwindet. Dies ergibt sich sofort durch die Be 
trachtung des Systems 0' der ganzen Funktionen von z' = —, für 
welches nach § 22, 3. die Funktionen 
eine Normal 
§ 10, 5. 
f 
und da (we$ 
so folgt 
w. z. b. w. 
Da abe 
rationalen l 
nach § 24, 
Die S. 
Dimensioi 
und demr 
vollständ: 
Als B 
nach z kai 
die Grund] 
bilden eine 
3. We 
Art von E 
nämlich d 
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m. l 
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