346 
uns dabei einer Erweiterung des Verfahrens, § 16, 4. Wir wählen 
ein Funktionensystem p 1? p a , ,,. Q n in £1 folgendermaßen: Es sei 
q x = 0 m in iß 2 , iPg, ... iß n , endlich und von Null verschieden in 
n 
V 
n 
Sind nun ic a , ... x n rationale Funktionen von z, und ist 
7] — x x q 1 -f- *®2 9a ""t - *" * “F •£« Qn 
eine Funktion in ¿2, welche für 2 = o°, d. h. in $ a , . .. ^ end 
lich ist, so müssen x v sc 2 , ... x n für z = oo endlich sein. Sind 
nämlich die x v x 2 , ... x n für z = oo nicht alle endlich, so existiert 
ein positiver Exponent r von der Beschaffenheit, daß die Produkte 
x x z~ r , x 2 z~ r , ... x n z r für z = oo alle endlich sind, und mindestens 
eines von ihnen, etwa x x z~ r von Null verschieden; dann enthält aber 
die Gleichung 
7]Z r = X 1 Z~ r Q 1 ~I \-X n Z~ r Q n 
den Widerspruch, daß im Punkte ^ die linke Seite und alle Glieder 
der rechten Seite mit Ausnahme des ersten verschwinden. 
Hieraus ergibt sich zugleich, wenn man rj — 0 setzt, daß die 
Funktionen p 1? p 2 , ... Q n eine Basis von ii bilden. Setzt man daher, 
indem man mit x tjl ' rationale Funktionen von z bezeichnet, 
(i = 1, 2, ... n) 
oo endlich 
und daraus ergibt sich nach der soeben bewiesenen Eigenschaft der 
Funktionen q, daß auch 
für z — 00 endlich sind. Nun sind z. B. in dem Punkte die 
Funktionen p x , p 3 , . . . Q n unendlich klein in der m ten Ordnung, 
während p 2 dort endlich und von Null verschieden ist. Daher werden 
in iß 2 die Funktionen 
den 
^ d Z ^ ^'i,3Qsi • • • Z%i,nQn