ich 
I s )’ 
1 setzt: 
- b da; 
x 7 
ich augenblicklich 
= | — 6' dieselben 
ag in bezug auf 6 
idelte Differential- 
e Richtigkeit der 
außer Zweifel ge- 
» die Euler sehen 
ine ganze positive 
assen; man findet 
-r)( I—r) % 
sin rn 
(33) 
Man kann hiervon auch noch einen wichtigen Rückschluß auf die 
Euler sehen Integrale der ersten Art machen; setzt man nämlich 
m = 0, n — 1, r = so findet man 
OO OL 
(31) r (i)=I e ^Jf = = 
0 0 
und folglich nach Gleichung (4): 
(32) r(n -f i) = (2w— 1)(2№ — 3) ... 5.3.1 
Nachdem in Artt. 2 und 11 die Fälle zusammengestellt sind, in 
welchen die Eulerschen Integrale beider Arten ohne Hilfe neuer 
Funktionen dargestellt werden können, will ich zum Schluß noch 
einmal zu dem Integral B zurückkehren, um noch einige Beziehungen 
desselben zu anderen Integralen zu entwickeln. Unter den ver 
schiedenen Formen, in welchen es auftritt, sind die beiden folgenden 
+ o° 
i* g(2Ö — 1)Z _J_ g— (2Ö — l)i 
dz und 2 | (tg <jp) 2ö_1 d<jp = 2 ^ (tg qp) 1-20 Acp 
ganz interessant; wichtiger sind aber die Verallgemeinerungen des 
selben durch Einführung neuer Konstanten. Dahin gehört das Integral 
1’ x b ~ 1 dx 
sin bit'' 
worin c positiv sein muß; doch läßt sich nachträglich beweisen, daß 
c auch imaginär sein darf; multipliziert man nämlich Zähler und 
Nenner der Funktion 
mit (;x + i), so zerfällt das entsprechende 
Integral in zwei andere, welche sich durch die Substitution xx= y 
auf das Integral B reduzieren lassen, und so findet man die Gültig 
keit der Gleichung (33) für imaginäre c. Durch Differentiation und 
Integration in bezug auf c kann man dann wieder eine Reihe von 
anderen Integralen ableiten.