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Erläuterungen zur vorstehenden Abhandlung. 
In der vorstehenden Abhandlung, mit der die arithmetische Theorie der 
algebraischen Funktionen geschaffen wurde, zerfällt der Aufbau der Theorie in 
drei Stufen. Der erste, formale Teil bezieht sich auf den Bereich der ganzen und 
gebrochenen algebraischen Funktionen einer Unbestimmten; im zweiten Teil bildet 
die arithmetisch definierte, absolute Riemannsche Fläche die Grundlage. Der 
dritte Teil — der nur am Schluß des Vorworts erwähnt, aber nicht erschienen 
ist — sollte von der arithmetischen zur topologischen absoluten Riemannschen 
Fläche übergehen: ein Begriff, der auf anderer Grundlage erst mehr als dreißig 
Jahre später in der Weylschen „Idee der Riemannschen Fläche“ entwickelt 
wurde. Es verdient daher besonders hervorgehoben zu werden, daß (§ 16) scharf 
darauf hingewiesen ist, daß die absolute Riemannsche Fläche ein zu dem Körper 
gehöriger invarianter Begriff ist, von dem aus sich der Übergang zur 
Riemannschen Auffassung vollziehen läßt. 
Der erste Teil läßt sich dadurch charakterisieren, daß der algebraische Funk 
tionenkörper als hyperkomplexes System über dem Grundkörper der rationalen 
Funktionen einer Unbestimmten betrachtet wird. Tatsächlich sind die Methoden zur 
Definition von Norm, Spur, Diskriminante usw. diejenigen der Darstellungstheorie 
hyperkomplexer Systeme; die Betrachtungen aus § 6 und § 22 etwa sind solche 
über reduzible Darstellungen. 
Die um die absolute Riemannsche Fläche sich gruppierenden Entwick 
lungen des zweiten Teils — insbesondere die Begriffe des „Punktes“ und des 
„Divisors“ (Polygons) — sind allgemeiner bekannt geworden durch das Buch 
von Hensel-Landsberg, wo aber die idealtheoretischen Grundlagen des ersten 
Teils durch funktionentheoretische ersetzt sind. Hensel-Landsberg führen die 
Gruppe aller ganzen und gebrochenen Divisoren ein, was Vereinfachungen beim 
Beweis des Riemann-Rochschen Satzes nach sich zieht. Der einfachste Beweis 
ergibt sich aber erst, wenn man die bei Dedekind-Weber, §22, gegebene 
Konstruktion der Normalbasis auf gebrochene Ideale überträgt, und dann nach 
Hensel-Landsberg weiter schließt. 
Die wesentlichsten Entwicklungen von Hensel-Landsberg wurden von 
Jung (Rend. Palermo 26, und spätere Arbeiten) auf algebraische Punktionen 
körper von zwei Veränderlichen übertragen. Eine rein arithmetische Begründung 
der Divisoren, die erst nach Weiterentwicklung der Idealtheorie möglich war, 
wurde von Schmeidler (Math. Zeitschr. 28) und v. d. Waerden (Math. Ann. 101) 
für n Veränderliche gegeben. Es handelt sich dort immer um Divisoren der 
Höchstdimension; arithmetische Definition und Existenzbeweis für den allgemeinen 
invarianten Punktbegriff bei algebraischen Mannigfaltigkeiten findet sich bei 
v. d. Waerden (Math. Ann. 97). 
Noether.