die J 0 mit ge- 
7 nn) 
CJl) 
4, 5, 6 die Di- 
2 ■ 3 • 4 • 5 • 6 an- 
Über ein Euler sches Integral. 
[Journal für reine und angewandte Mathematik, Bd. 45, S. 370—374 (1853)]. 
Die yoh Gauß und Legendre in die Analysis eingeführten 
Funktionen TI und JT stehen bekanntlich in dem Zusammenhänge, daß 
r(a) mit II {a — 1) identisch ist, so lange a einen positiven Wert 
hat; für negative a ist r(a) stets unendlich groß, während II (a—1) 
eine bestimmte Funktion bleibt und nur dann unendlich und unstetig 
wird, wenn a einen der Werte 0, — 1, — 2 usw. erhält. Die 
Funktion II wird als unendliches Produkt, JT als bestimmtes Integral 
definiert. Unstreitig ist die erstere Definition umfassender und ge 
währt eine tiefere Einsicht in das wahre Wesen dieser Funktionen; 
indessen ist es für die Integralrechnung wichtig, ohne Hilfe jener 
Entwicklungen in unendliche Produkte und Reihen, selbständig eine 
Theorie dieser Funktionen aufzustellen. Dies ist auch in der Tat 
nach und nach vollständig gelungen, seitdem namentlich Dirichlet 
(im 15. Bande dieses Journals) das berühmte Multiplikationstheorem 
von Gauß so elegant bewiesen hat. In dieser Abhandlung wird 
auch der Lehrsatz ^ 
, . . 1' x a ~ 1 dx it 
II(a — 1) • J7(— a) = 
x l 
sin a 7t 
angewendet, für welchen sehr verschiedene Beweise von verschiedenen 
Mathematikern gegeben sind, die aber fast alle ihren Weg über Ent 
wicklungen in unendliche Reihen nehmen. In meiner, Ostern 1852 
gedruckten Inaugural- Dissertation (Über die Elemente der Theorie 
der Eu 1er sehen Integrale) sind die hauptsächlichsten zusammen 
gestellt; auch habe ich schon dort einen neuen Weg hinzugefügt, 
welcher sich ganz im Gebiet der bestimmten Integrale hält, dem ich 
aber eine vollkommene Strenge nur dadurch zu verleihen vermochte, 
daß ich die Entstehung dieses Integrals aus der Multiplikation von 
II(a— 1) und JI(—a), und den Ausdruck für 
dlogJJ{a) 
da 
als be- 
kannt voraussetzte. Im folgenden soll nun ein, zwar auf ganz der 
selben Idee beruhender, aber von anderen Theorien ganz unabhängiger