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Da nun im ganzen Intervall der Integration 
1 
»4-1 
zwischen den 
Grenzen 1 und | liegt, so liegt auch A zwischen den Grenzen 
i i 
J(» a ~ 1 4-x~ a )dx und | j {x a ~ 1 + x~ a )dx. 
0 o 
Dieses Integral hat aber nur dann einen endlichen und positiven 
Wert, = r, wenn a ein positiver echter Bruch ist. Dieselbe 
’ o(l — a) 
Bedingung ist daher auch für die Endlichkeit des Integrals A nötig. 
Ferner ergibt sich unmittelbar aus der Gleichung (3) der Satz 
(4) <p(a) = cp{l — a). 
Differentiiert man diese Gleichung in bezug auf a und setzt dann 
o = |, so findet man 
(5) «jp'G)^ 0 - 
Da ferner, wie leicht zu sehen, cp" (|) positiv ist, so erreicht cp (a) 
für a 
\ einen Minimumwert 
(6) 
cp 
x 2 d x 
»4-1 
f d(Vs) 
J 1 + (V*) 2 
71. 
Bezeichnet w eine positive Größe, so erhält man, wenn man in 
der Gleichung (2) — statt x schreibt: 
(7) 
x a ~ 1 dx 
x -\- w 
Aw a ~ 
und wenn man — statt w setzt, 
w 
(8) 
x a ~ 1 dx 
XW 4- 1 
= Aw' 
dw 
Multipliziert man die Gleichung (7) mit ^ _j_"p integriert in 
bezug auf w zwischen den Grenzen 0 und oo und bedenkt, daß zu 
folge des Hilfssatzes (1) 
dw 
log x 
{w 4- l)(w -j- x) X — 1