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so ist aus der Theorie der ternären Formen weiter bekannt, daß 
F ( x ’ y ’ Z )F ( X '’ y ' Z ']-\f ( x ' y * Z \f 
\®I y, 2/ W, ?/', 27 r 1 W, 2/', «yj 
= X 
zy , ZX — £2 , xy 
yz —zy, zx'—xz\ xy 
also im gegenwärtigen Falle 
_ j)-F( yZ '~ Zy ' zx ' — xz 'i Х У 
\yz' 
' — у А 
' — ydг 
(7) 
ist. 
\yz — 2 2/, zx 
xz. 
xy — у 
x ) 
X / 
Nach diesen Vorbemerkungen ist es nun leicht, den obigen Satz 
zu beweisen. OXYZ sei das eine Koordinatensystem mit den Winkeln, 
a, 6, c; OMM'M" das andere mit den Winkeln m, m', m". OM bilde 
mit den drei Achsen OX, 07, OZ Winkel, deren Kosinus a, /3, y usw 
sind. Dann finden folgende sechs Gleichungen Statt: 
(8) 
«» ß\ Y \ _ 
<*', ß\ y\ 
'б; ;; :й= д ’ • 
welche allgemein die Beziehung zwischen irgend zwei dreiachsigen 
Koordinatensystemen ausdrücken. Wenn nun aber außerdem die 
Gleichungen (4), und folglich auch die (5) und (6) gelten, so erhält 
man durch Addition der drei ersten Gleichungen in (8): 
(9) sin a? + sin b 2 + sin c 2 = 3 Z). 
Ferner ergibt sich aus dem in (7) enthaltenen Theorem: 
/«, ß, y\ F /«', ß\ y'\ — | jp /«, /3, Г \f 
4«, ß, y) l W, /3', y7 PW, ß\ y'JJ 
= D-f(^ v '~ — У“» a ß' ~ a 'ß\ = t).f( ecc "' £ ß"' 
\ßy' — ß'y, ya—y'a, aß' —aß) \aa", aß", ay") 
oder 
DZ) — Z>Z) cos m" 2 
= Z) (а"а" + ß"ß" y"y" + 2 ß"y" cos а + 2 у "а" cos 6 + 2 «"/3" cos c), 
also 
Z> ш m 2 =1 + 2/3 у cos а + 2 у а cos 6 + 2 а ß cos с, 
D sin m' 2 = 1 + 2 /3' y' cos а + 2 у' cos 6 + 2 а' /3' cos c, 
Z)siw m" 2 =1 + 2 ß" y" cos а + 2 у”а"cos 6 + 2 а" ß"cos с,