42 
durch p. Hieraus folgt weiter: Ist Ä B = 0 (mod. p), so ist minde 
stens eine der beiden Funktionen A, B = 0 (mod. p)\ und ferner: Ist 
AB = A'B', und A = A' nicht = 0 (mod. p), so ist B= B' (mod.p); 
denn es ist AB = AB\ oder A{B — B') = 0 (mod. p). Dieser 
Satz gibt daher die Bedingung für die Berechtigung zur Division 
einer Kongruenz durch eine andere. Ferner ist leicht zu sehen, daß 
die Anzahl der einander nicht kongruenten (inkongruenten) Funk 
tionen vom Grade a gleich (p—1 )p a ist; denn der Koeffizient von 
x a kann p — 1, der jeder niedrigeren Potenz kann p nach dem 
Modul p inkongruente Werte haben, und der Koeffizient jeder höheren 
Potenz ist = 0 (mod. p). Dies Resultat gilt auch für den Fall 
cc — 0, insofern bei den Funktionen, welche = 0 sind, überhaupt 
von einem Grade keine Rede ist. 
3. 
Sind A, B, C drei solche Funktionen von x, daß A = BC (mod. p), 
so heißen J3, G (oder alle diesen kongruente Funktionen) Divisoren 
oder Faktoren von A (oder jeder mit A kongruenten Funktion) in 
bezug auf den Modul p. Gleichbedeutend sind die Ausdrücke: A ist 
ein Multiplum von 15, (7; oder: A ist teilbar durch B, G. Diese 
Teilbarkeit nach einem Modulus ist natürlich nicht mit der algebraischen 
Teilbarkeit zu verwechseln, obwohl aus der letzteren stets die erstere 
folgt. Offenbar kann der Grad eines Divisors B von A nicht höher 
sein als der Grad von A. Jede Funktion ist teilbar durch jede der 
p — 1 inkongruenten Funktionen vom Grade Null; denn jede der 
letzteren ist einer durch p nicht teilbaren Zahl a kongruent; be 
stimmt man nun a' so, daß aal = 1 (mod. p), so ist A = a-olA, 
wo A jede beliebige Funktion bedeutet. Außer diesen p — 1 Funk 
tionen vom Grade Null hat keine andere die Eigenschaft, Divisor 
von jeder beliebigen Funktion zu sein; denn eine Funktion, deren 
Grad höher als Null ist, kann nicht mehr Divisor der Funktionen 
vom Grade Null sein. Man kann deshalb (zufolge der Analogie mit 
ähnlichen Untersuchungen) diese p — 1 inkongruenten Funktionen 
klassen vom Grade Null Einheiten nennen. 
Man kann jede Funktion vom Grade a kongruent setzen dem 
Produkte aus einer bestimmten Funktion vom Grade Null und einer 
Funktion vom Grade oc, in welcher der Koeffizient von x a =l (mod. p) 
ist (solche Funktionen sollen primäre heißen); denn ist a der durch