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p nicht teilbare Koeffizient von x a in A, und aa' = 1 (mod. p), so 
ist A = a • a'A, worin a’A eine primäre Funktion ist. — Die Anzahl 
der inkongruenten primären Funktionen vom Grade a ist gleich p a . 
Aus der Definition der Multipla ergeben sich unmittelbar die 
beiden folgenden Sätze: Ist eine Funktion ein Multiplum von einer 
zweiten, diese ein Multiplum von einer dritten, diese von einer 
vierten usw., so ist jede frühere in der Reihe dieser Funktionen ein 
Multiplum von jeder späteren. — Die Summe und die Differenz 
zweier Multipla von einer Funktion sind selbst wieder Multipla der 
selben Funktion. 
4. 
Von großer Bedeutung für die späteren Untersuchungen ist 
folgende Aufgabe: Zu untersuchen, ob zwei gegebene Funktionen 
A, A' nach dem Modul p gemeinschaftliche Divisoren haben. 
Zunächst läßt sich zeigen, daß man stets eine Kongruenz von 
der Form 
A = QA' -f- A" (mod. p) 
aufstellen kann, in welcher Q, A" zwei neue Funktionen sind, deren 
letztere A" einen niedrigeren Grad als A' hat, oder gar = 0 (mod. p) 
ist. Denn es sei u der Grad von A, a der von A'-, im Falle nun 
«<k' ist, braucht man nur Q = 0, A" = A (mod. p) zu setzen; ist 
aber so kann man die Zahl q so bestimmen, daß A — qx a ~ a ' • A' 
von niedrigerem Grade a x als oc ist; ist dann a x auch < oe', so ist 
das Ziel schon erreicht, wenn man Q = qx a ~ a ' setzt; ist aber 
ccj so verfährt man mit der Funktion A — qx a ~ a ' • A' ebenso, 
wie bei dem ersten Schritte mit A; man bestimmt q x so, daß 
A — qx a ~ • Ä — q x x a ^~ a '. A' von niedrigerem Grade ist als a x u. s. f,, 
bis man zu einer Funktion von niedrigerem Grade als a gelangt, 
was nach einer endlichen Anzahl von Operationen geschehen mußi 
Man setzt dann 
Q = qx a ~ a ' -}- q x x a ^~ a ' -J- etc. (mod. p), 
und dann ist A" = A — QA' von niedrigerem Grade als a. W. Z. B. W. 
Aus der so gebildeten Kongruenz folgt nun unmittelbar, daß 
jeder gemeinschaftliche Divisor von A, A' auch Divisor von A", und 
umgekehrt, daß jeder gemeinschaftliche Divisor von A', A" auch