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§ 159. 
Der Begriff der ganzen Zahl hat in diesem Jahrhundert eine 
Erweiterung erfahren, durch welche der Zahlentheorie wesentlich 
neue Bahnen eröffnet sind; den ersten und wichtigsten Schritt auf 
diesem Gebiete hat Gauß*) getan, und wir wollen zunächst die 
Theorie der von ihm eingeführten ganzen komplexen Zahlen wenig 
stens in ihren wichtigsten Grundzügen darstellen, weil hierdurch das 
Verständnis der später folgenden Untersuchungen über die allgemeinsten 
ganzen algebraischen Zahlen gewiß erleichtert wird. 
Bisher haben wir unter ganzen Zahlen ausschließlich die Zahlen 
0, ±1, +2, +3, ±4... 
verstanden, nämlich alle diejenigen Zahlen, welche durch wiederholte 
Addition und Subtraktion aus der Zahl 1 entstehen; diese Zahlen 
reproduzieren sich durch Addition, Subtraktion und Multiplikation, 
oder mit anderen Worten, die Summen, Differenzen und Produkte 
von je zwei ganzen Zahlen sind wieder ganze Zahlen. Dagegen führt 
die vierte Grundoperation, die Division, auf den umfassenderen Be 
griff der rationalen Zahlen, unter welchem Namen die Quotien 
ten**) von irgend zwei ganzen Zahlen verstanden werden; offenbar 
reproduzieren sich diese rationalen Zahlen durch alle vier Grund 
operationen. Jedes System von reellen oder komplexen Zahlen, welches 
diese fundamentale Eigenschaft der Reproduktion besitzt, wollen wir 
künftig einen Zahlkörper oder kurz einen Körper nennen; der In 
begriff R aller rationalen Zahlen ist daher ein Körper, und zwar 
bildet er das einfachste Beispiel eines solchen. Dieser Körper R 
der rationalen Zahlen besteht nun aus ganzen und gebrochenen, d. h, 
nicht ganzen Zahlen; die ersteren wollen wir in Zukunft rationale 
ganze Zahlen nennen, um sie von den neu einzuführenden ganzen 
Zahlen zu unterscheiden. 
*) Theoria residuorum biquadraticorum. II. 1832. — Vgl. die Ab 
handlungen von Dirichlet: Recherches sur les formes quadratiques à 
coefficients et à indéterminées complexes (Grelles Journal, Bd. 24) und 
Untersuchungen über die Theorie der complexen Zahlen (Abh. d. Ber 
liner Akad. 1841). 
**) Dem Begriffe eines Quotienten gemäß wird es hier und im folgenden als 
selbstverständlich angesehen, daß der Divisor oder Nenner eine von Null verschie 
dene Zahl ist. 
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