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bei allen Fragen der Teilbarkeit sich ganz gleich verhalten; ist 
nämlich eine ganze Zahl a teilbar durch eine ganze Zahl ft, so ist 
auch jede mit « assoziierte Zahl durch jede mit ft assoziierte Zahl 
teilbar. Wir sehen daher im folgenden vier solche assoziierte Zahlen 
als nicht wesentlich verschieden an. 
Um nun eine ausreichende Grundlage für die Theorie der Teil 
barkeit in unserem Gebiete der ganzen komplexen Zahlen zu gewinnen, 
bemerken wir zunächst, daß jede dem Körper J ungehörige Zahl 
co — x -)- yi, mag sie ganz oder gebrochen sein, stets als Summe 
von zwei Zahlen v und co, dargestellt werden kann, von denen die 
erstere v eine ganze Zahl ist, während N(a> x )<C.l wird; sondert 
man nämlich aus den rationalen Koordinaten x, y die nächstliegenden 
ganzen Zahlen r, s aus, so wird x = r -f- x v y — s -)- ?/,, wo x v y x 
rationale Zahlen bedeuten, deren absolute Werte <C i sind; setzt man 
daher v — r + si, co x = x x -f- y x i, so wird co = v 4- co,, wo v eine 
ganze Zahl, und 
N (co,) = x x -f y? <; ~ < 1 
ist 
Hieraus ergibt sich unmittelbar der folgende wichtige Satz: 
Ist a eine beliebige ganze, und ß eine von Null ver 
schiedene ganze Zahl, so kann man zwei ganze Zahlen y 
und v immer so wählen, daß 
a = vß + y, und N(y) -<N(ß) 
wird. 
Da nämlich der Quotient der beiden Zahlen «, ß eine dem 
Körper J ungehörige Zahl co ist, so kann man 
ß 
CO, 
also a — vß -f- ßco 1 
setzen, wo v eine ganze Zahl, und JV (co,) <C 1 ist; hieraus folgt aber, 
daß die Zahl y — ßa 1 = a — vß ebenfalls eine ganze Zahl, und 
daß ihre Norm 
N{y) = N(ß)N(m 1 )<N(ß) 
ist, was zu beweisen war. 
Mit Hilfe dieses Satzes läßt sich nun die Aufgabe behandeln, 
alle gemeinschaftlichen Divisoren von zwei gegebenen ganzen Zahlen 
a, ß zu finden (vgl. § 4); behalten nämlich v und y die eben fest 
gesetzte Bedeutung, so ergibt sich aus den obigen Elementarsätzen I. 
und II., daß jeder gemeinschaftliche Divisor von oc, ß auch gemein- 
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