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da nun das Produkt rechter Hand durch die Primzahl tc 1 teilbar 
ist, so muß zufolge derselben Schlüsse die Zahl tc 1 mit einem der 
Faktoren dieses Produktes, z. B. mit assoziiert, also von der Form 
eine Einheit bedeutet. Die durch Division mit 
entstehende Gleichung 
£ £ x TC2 . . . 7t n 02 • • • Qm 
kann man offenbar in derselben Weise weiter behandeln; es ergibt 
sich hieraus zunächst, daß m nicht kleiner als n ist, und daß man 
tTq — £3 ^31 ^3 —' £ 3 0 3 ... itn -— £ M Qn setzen kann, wo £^, £g ... £^ 
Einheiten bedeuten. Wäre nun m i> so würde sich 
0w + l0n+2 
ergeben, und es wäre folglich ein Produkt von lauter Einheiten durch 
mindestens eine Primzahl p n + 1 teilbar, was unmöglich ist. Mithin 
ist m — n, und die beiden Zerlegungen der Zahl ca in Primfaktoren 
sind wesentlich identisch, d. h. wenn in der einen Zerlegung ge 
nau r Faktoren auftreten, welche mit einer und derselben Primzahl 
7t assoziiert sind, so finden sich auch in der anderen Zerlegung genau 
r solche mit tc assoziierte Faktoren. In diesem Sinne ist der hiermit 
bewiesene Fundamentalsatz (vgl. § 8) zu verstehen: 
Jede zusammengesetzte Zahl läßt sich stets und wesent 
lich nur auf eine einzige Weise als Produkt aus einer 
endlichen Anzahl von Primzahlen darstellen. 
Es ist nun auch nicht schwer, sich einen deutlichen Überblick 
über alle in unserem Körper J vorhandenen komplexen Primzahlen 
71 zu verschaffen. Es gibt offenbar unendlich viele natürliche Zahlen, 
die durch eine bestimmte Primzahl 71 teilbar sind (eine solche ist 
z. B. N (tc) = 7t7t')\ von allen diesen Zahlen muß die kleinste p 
notwendig eine natürliche Primzahl, d, h. eine positive Primzahl 
des Körpers J?, also eine Primzahl im alten Sinne des Wortes sein; 
denn p ist >1, w^eil sonst tc eine Einheit wäre, und p kann auch 
nicht ein Produkt von zwei kleineren natürlichen Zahlen sein, weil 
sonst 71 als Primzahl in einer derselben aufgehen müßte, was aber 
der Definition von p widerspricht. Jede komplexe Primzahl tc ist 
daher Divisor von einer (und offenbar auch nur von einer einzigen) 
natürlichen Primzahl p, und es werden folglich alle komplexen Prim 
zahlen tc entdeckt werden, wenn man die Divisoren aller natürlichen 
Primzahlen p aufsucht. Es sei daher p eine natürliche Primzahl, 
und tc 
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