236
wo die Summenzeichen sich ebenfalls auf alle n Wurzeln beziehen.
Die quadratische Form T ist charakteristisch für die Anzahl der
reellen Wurzeln; bildet man ferner die Hessesche Determinante des
Produktes H — IIa, so ergibt sich durch Vergleichung mit (29) die
Diskriminante
d 2 T d 2 T
(40) =
was auch unmittelbar aus (39) folgt,
§160.
Der Inbegriff aller algebraischen Zahlen bildet offenbar eben
falls einen Körper*). Wir wollen nun, indem wir unserem eigentlichen
Gegenstände näher treten, eine Zahl a eine ganze algebraische
Zahl nennen, wenn sie die Wurzel einer Gleichung ist, deren Koeffi
zienten rationale ganze Zahlen sind, wobei wir ein für allemal bemerken,
daß wir unter den Koeffizienten einer Funktion mten Grades
F (x) = c x m c 1 x m ~ 1 -f- c 2 x m ~ 2 +■ • • • + c m
oder der Gleichung F (x) — 0 stets die m Quotienten
C, Co , v C m
-i’ +i-
verstehen. Aus dieser Erklärung folgt zunächst, daß eine rationale
Zahl stets und nur dann eine ganze algebraische Zahl ist, wenn sie
eine ganze Zahl im gewöhnlichen Sinne des Wortes ist (vgl. § 5, 4.);
diese Zahlen wollen wir von jetzt ab rationale ganze Zahlen,
alle algebraischen ganzen Zahlen aber kurz ganze Zahlen nennen.
Dieses vorausgeschickt, schreiten wir zum Beweise der folgenden
F undamentalsätze.
1. Die Summe, die Differenz und das Produkt zweier
ganzen Zahlen cc, ß sind wieder ganze Zahlen.
*) Daß es außer den algebraischen noch andere, sogenannte transzendente
Zahlen gibt, ist meines Wissens zuerst von Liouville bewiesen (Sur des classes
très-étendues de quantités dont la valeur n’est ni algébrique, ni
même réductible à des irrationnelles algébriques; Journ. de Math. T.
XYI, 1851). Man vermutet, daß die Ludolphsche Zahl n eine solche transzendente
Zahl ist; allein selbst die als spezieller Pall hierin enthaltene Behauptung, daß die
Quadratur des Zirkels unmöglich sei, ist bis auf den heutigen Tag noch nicht
erwiesen. (Vgl. Euler: De relatione inter ternas pluresve quantitates
instituenda. §10. Opusc. anal. T. II, 1785.)
