237 
Sind a, b bzw. die Grade der Gleichungen cp (a) = 0, ip (ß) = 0, 
deren Koeffizienten rationale ganze Zahlen sind, und bezeichnet man 
mit cjj, g) 2 , .co n die sämtlichen ab Produkte von der Form a a< ß b ', 
wo a' irgendeine der Zahlen 0, 1, 2, (a—1), und b' irgendeine 
der Zahlen 0, 1, 2,...,(& — 1) bedeutet, so wird, wenn co = a -f- /3, 
oder — a — /3, oder — aß ist, jedes der n Produkte ogj x , ocj 2 , ..., 
G)co n mit Zuziehung der Gleichungen cp (a) = 0, ip(ß) = 0 auf 
die Form r x co 1 -f- r 2 co 3 + • • • + r n «« gebracht werden können, wo 
r x , r 2 , ..., r n rationale ganze Zahlen sind. Eliminiert man die 
n Größen cj x , co 2 , ..., co n aus diesen n Gleichungen, so ergibt sich 
für oj eine Gleichung vom wten Grade [wie (6) in § 159], deren 
Koeffizienten rationale ganze Zahlen sind, was zu beweisen war 
(vgl. § 139). 
2. Die ganze Zahl a heißt teilbar durch die ganze Zahl ß, 
oder ein Multiplum von /3, wenn der Quotient a:ß ebenfalls eine 
ganze Zahl ist; umgekehrt heißt ß ein Divisor oder Teiler von a 
(vgl. § 3). Ebenso setzen wir a = ß (mod y), wenn a — ß durch y 
teilbar ist, und nennen a, ß kongruent nach dem Modul y (vgl. 
§17). Man erkennt sofort (zufolge 1.), daß die Sätze des §3 und 
auch die des § 17 (mit vorläufiger Ausnahme von 6. und 8.; vgl. 
§ 164, 3.) ihre Gültigkeit behalten. 
3. Jede Wurzel co einer Gleichung, deren Koeffizienten 
ganze Zahlen sind, ist ebenfalls eine ganze Zahl. 
Ist a die Wurzel einer Gleichung mten Grades F (co) = 0, deren 
Koeffizienten a, ß ... ganze Zahlen sind, sind ferner a, b ... bzw. die 
Grade der mit rationalen ganzen Koeffizienten behafteten Gleichungen 
cp(cc) — 0, if>(ß) = 0 so führe man die sämtlichen mab ... 
Produkte oj,, co 2 , ...,«„ von der Form co m ' a a ' ß b ' ... ein, wo die 
ganzen rationalen Exponenten den Bedingungen 0 m' < w, 
0 ^ a' < a, 0 ^ 6' < ö ... genügen; dann läßt sich vermöge der 
Gleichungen F (to) = 0, cp (a) — 0, t\> (ß) ~ 0 ... jedes der n Pro 
dukte co oo^, co c? 2 , ..., C3 03 n wieder in die Form r x Oj + r 2 co 2 -}-• • • 
-\-r n c3 n bringen, wo r x , r 2 , ..., r n rationale ganze Zahlen bedeuten, 
und hieraus folgt unmittelbar die Richtigkeit des Satzes. 
Ist daher z. B. a eine ganze Zahl, und r eine beliebige (ganze 
oder gebrochene) positive rationale Zahl, so ist auch a r eine ganze 
Zahl (vgl. § 5, 4.).