240 
zweier ganzen Zahlen vorläufig (vgl. § 164, 3.) nicht gesprochen werden 
kann, so ist es auch unmöglich, die Definition von relativen Prim 
zahlen so zu fassen, wie sie in der Theorie der rationalen Zahlen 
aufgestellt wird (§ 5); aber aus dieser Definition ergaben sich mehrere 
Sätze, deren jeder umgekehrt das Verhalten zweier relativen Prim 
zahlen vollständig charakterisiert, ohne die Kenntnis ihrer sämtlichen 
Divisoren vorauszusetzen. Ein solcher Satz ist z. B. der folgende 
(§7): Sind a, 6 relative Primzahlen, so ist jede durch a und b teil 
bare Zahl auch durch ab teilbar. Dieser Satz läßt sich in der Tat 
umkehren: Ist jede durch a und b teilbare Zahl auch durch ab teil 
bar, so sind a, b relative Primzahlen. Hätten nämlich die beiden 
Zahlen a — ha, b = hb' einen gemeinschaftlichen Teiler h >> 1, so 
wäre ha'b' eine durch a und 6, aber nicht durch ab teilbare Zahl. 
Diese Betrachtung veranlaßt uns, folgende für das Gebiet aller 
ganzen algebraischen Zahlen gültige Erklärung aufzustellen: 
Zwei von Null verschiedene ganze Zahlen «, ß heißen 
relative Primzahlen, wenn jede durch a und ß teilbare Zahl 
auch durch aß teilbar ist. 
Vor allem bemerken wir, daß zwei relative Primzahlen im alten 
Sinne des Wortes, d. h. zwei rationale ganze Zahlen a, 6, deren größter 
gemeinschaftlicher Divisor = 1 ist, auch im neuen Sinne relative 
Primzahlen bleiben; ist nämlich eine ganze algebraische Zahl y teil 
bar durch a und 6, so ist der Quotient p — y: ab eine algebraische 
Zahl der Art, daß ap und 6 p ganze Zahlen sind; mithin muß 
(zufolge 5.) auch p eine ganze Zahl, also y teilbar durch ab sein, 
was zu beweisen war. Daß ferner umgekehrt zwei relative Prim 
zahlen im neuen Sinne des Wortes, welche zugleich rational sind, 
auch relative Primzahlen im alten Sinne sind, versteht sich zufolge 
der der neuen Erklärung vorausgeschickten Erörterung von selbst. 
Wir nennen ferner die ganzen Zahlen a, ß, y, d ... kurz relative 
Primzahlen, wenn jede von ihnen relative Primzahl zu jeder der 
anderen ist (vgl. § 6); ist dann eine ganze Zahl co durch jede von 
ihnen teilbar, so ist sie auch durch ihr Produkt teilbar (vgl. § 7), 
weil, wie man leicht findet, auch der folgende Satz (§ 5, 3.) seine 
Gültigkeit behält: Ist jede der Zahlen a, ß\ y ... relative Primzahl 
zu jeder der Zahlen a", ß'\ y", d" ..., so sind auch die Produkte 
aß 'y' ... und a"ß"y"d" ... relative Primzahlen und umgekehrt.