durch rationale Operationen eine Zahl t abgeleitet ist, welche folglich 
ebenfalls dem Körper A angehört, durch dieselben rationalen Ope 
rationen aus den Bildern u, v', w'... immer das Bild t' der Zahl t 
entstehen soll. Eine Substitution oder Abbildung qp, welche sich 
durch diese Eigenschaft vor anderen auszeichnet, wollen wir eine 
Permutation des Körpers A nennen. Da jede rationale Operation 
aus einer endlichen Anzahl von einfachen Additionen, Subtraktionen, 
Multiplikationen und Divisionen zusammengesetzt ist, so leuchtet ein, 
daß die Abbildung 9? stets und nur dann eine solche Permutation 
ist, wenn für je zwei in A enthaltene Zahlen w, v die folgenden vier 
Grundgesetze gelten: 
(1) {u -)- v)' = u -\-v' 
(2) (u — v)' = u — v' 
(3) ([uv)' = uv' 
(4) 
Von diesen für eine Permutation charakteristischen, d. h. er 
forderlichen und hinreichenden Bedingungen verlangt die letzte offen 
bar, daß die Bilder a 1 nicht alle verschwinden; umgekehrt, 
wenn eine Abbildung 9), durch welche jede Zahl a des Körpers A 
in eine Zahl o! übergeht, diese Eigenschaft besitzt und außerdem 
den Gesetzen (1) und (3) gehorcht, so ergeben sich hieraus, wie wir 
jetzt beweisen wollen, die Gesetze (2) und (4), und folglich ist 9) eine 
Permutation des Körpers A. In der Tat, aus der Gleichung (1) 
folgt unmittelbar die Gleichung (2), wenn man, was offenbar erlaubt 
ist, die willkürliche Zahl u des Körpers A durch die ebenfalls in A 
enthaltene Zahl (u — v) ersetzt; ebenso darf man in (3), wenn v von 
Null verschieden ist, u durch den Quotienten uw ersetzen, wodurch 
man zunächst 
erhält; wäre nun v = 0, so würden die Bilder u' von allen in A 
enthaltenen Zahlen u verschwinden, was aber im Widerspruch mit 
unserer ausdrücklichen Voraussetzung steht; mithin ist das Bild v' 
jeder von Null verschiedenen Zahl v ebenfalls von Null verschieden, 
und es gilt folglich das Gesetz (4), was zu beweisen war. 
Es ergibt sich ferner, daß das System A', in welches der 
Körper A durch eine Permutation cp übergeht, wieder ein Körper