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Hieraus geht hervor, daß man, um das gegenseitige Verhalten
zweier ganzen Zahlen «, ß zu untersuchen, nur den kleinsten Körper K
zu bilden braucht, welchem sie beide angehören; und dieser Körper
ist, wie man leicht erkennt, immer von der im vorigen Paragraphen
betrachteten Beschaffenheit.
§ 161.
Um den späteren Verlauf der Darstellung nicht zu unterbrechen,
schalten wir hier eine sehr allgemeine Betrachtung ein, welche für
die nachfolgenden, sowie für viele andere, unserem Gegenstände
fremde Untersuchungen von großem Nutzen ist.
1. Ein System a von reellen oder komplexen Zahlen w, deren
Summen und Differenzen demselben System a angehören, soll ein
Modul heißen; wenn die Differenz zweier Zahlen co, co' in a enthalten
ist, so wollen wir sie kongruent nach a nennen und dies durch
die Kongruenz
co = co’ (mod a)
andeuten. Solche Kongruenzen können addiert, subtrahiert und folg
lich auch mit beliebigen ganzen rationalen Zahlen multipliziert werden,
wie Gleichungen. Da je zwei einer dritten kongruente Zahlen auch
einander kongruent sind, so kann man alle existierenden Zahlen in
Klassen (moda) einteilen, indem man je zwei kongruente Zahlen in
dieselbe Klasse, je zwei inkongruente in zwei verschiedene Klassen
auf nimmt.
2. Wenn alle Zahlen eines Moduls a auch Zahlen eines Moduls b
sind, so heiße a ein Vielfaches von b, und b ein Teiler von a;
oder wir sagen auch, b gehe in a auf, et sei teilbar durch b. Aus
jeder Kongruenz os = 03' (mod a) folgt auch 03 = 03' (mod b). Offen
bar besteht b aus einer endlichen oder unendlichen Anzahl von
Klassen (moda).
Sind a, b irgend zwei Moduln, so bilden alle die Zahlen, welche
gleichzeitig in a und in b enthalten sind, das kleinste gemeinschaft
liche Vielfache m von a und b, weil jedes gemeinschaftliche Vielfache
von a und b auch durch den Modul m teilbar ist. Durchläuft a alle
Zahlen des Moduls a, ß alle Zahlen des Moduls b, so bilden die
Zahlen a -ß den größten gemeinschaftlichen Teiler von a und b, weil
jeder gemeinschaftliche Teiler von a und b auch in dem Modul b auf geht.
