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teilbar, also von der Form a r r> x r ist, wo x r eine ganze rationale
Zahl bedeutet, und daß folglich Q r — x r a r = 6 r —i eine Zahl a ist,
in welcher k r , 1c r+1 , ..., k n verschwinden. Hieraus folgt sofort, daß,
nachdem man für jeden Index r eine solche partikuläre Zahl a r des
Moduls a aufgestellt hat*), jede Zahl a gewiß in die Form
(4) Ci : X x (X 1 “F X% CC% -j- • • • ~(~ •X'n
gebracht werden kann, wo x x , x 2 , ..., x n ganze rationale Zahlen
bedeuten, aus welchen die in der Form (2) vorkommenden Zahlen
& 2 , ..., k n durch die Gleichungen
(5) k r — a ( r ] x r -F ar +1) x r+1 4- • • • -f- (¿^ x n
abgeleitet werden; und umgekehrt sind alle Zahlen cc von der Form
(4) in a enthalten.
Ist nun eine Zahl ca von der Form (1) gegeben, sind also h v
Ä 2 , ..., h n gegebene rationale ganze Zahlen, so sind alle Zahlen ca'
des Moduls o, welche ihr nach m kongruent sind, welche also eine
Klasse (mod a) bilden, von der Form
(6) ca ■— ca -j- cc —■ hi öj -J- h 2 ca 2 -j- * * ■ d - h n ca n ,
wo zufolge (5)
h r == h r -)- Q>r ^ %r d - »r ^Xj t j d - ■ * ’ d - ^ n
ist, und hieraus folgt, daß man sukzessive die willkürlichen rationalen
ganzen Zahlen x n , ..., x 2 , x x stets und nur auf eine einzige
Art so bestimmen kann, daß die n Zahlen h' r den Bedingungen
(7) 0 <: h' r < fli r)
genügen. In jeder Klasse existiert daher ein und nur ein Repräsen
tant ca' von der Form (6), welcher diesen Bedingungen (7) genügt;
mithin ist die Anzahl der verschiedenen Klassen (mod a), aus welchen
der Modul o besteht, gleich dem Produkte a[ a 2 ... a4 ?l) , d. h. gleich
der Determinante des Koeffizientensystems in den n partikulären
Zahlen a r von der Form (3), welche eine Basis von ci bilden**).
*) Das System dieser n partikulären Zahlen wird ein vollständig bestimmtes,
wenn man die Bedingung hinzufügt, daß 0 d'^'* <. o!^ sein soll, wenn r' ~> r ist.
**) Die weitere Entwicklung der allgemeinen Theorie der Moduln würde uns
hier zu weit führen (vgl. § 163); wir erwähnen nur noch folgenden Satz: Sind die
Basiszahlen eines endlichen Moduls voneinander abhängig, so gibt es immer eine aus
unabhängigen Zahlen bestehende Basis desselben Moduls. Die eleganteste Methode,
die neue Basis aufzufinden, besteht in einer Verallgemeinerung der von Gauß an
gewandten Behandlung der partialen Determinanten (D, A. artt. 234, 236, 279).