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das System aller ganzen Zahlen des Körpers ii, d. h. aller Zahlen co 
von der Form (1), wo die Zahlen co t eine Grnndreihe des Körpers 
bilden und die Koordinaten h L beliebige ganze rationale Zahlen bedeuten; 
da jeder Quotient co: g. (zufolge §160, 5.) durch Multiplikation mit 
einer von Null verschiedenen ganzen rationalen Zahl in eine ganze 
Zahl verwandelt werden kann, so ist die Untersuchung des vorigen 
Paragraphen auf unseren Fall anwendbar. Mithin sind alle durch 
teilbaren Zahlen a des Systems o von der Form 
a = Ex t a t — ^iEx L ß n 
wo die n Zahlen a t = p ß L partikuläre Zahlen a bedeuten, also die 
Zahlen ß L in o enthalten sind, und die Größen x L alle rationalen 
ganzen Zahlwerte annehmen dürfen; die Anzahl der Klassen, in 
welche das System o in bezug auf den Modul p zerfällt, ist ferner 
gleich der aus den Koordinaten der n Zahlen , a 2 , ..., a n gebildeten 
Determinante a. Zugleich ist [nach § 159, (11), (12)] 
^(«, ••• O = ... ßn)\ 
da nun jede durch p teilbare Zahl a = n co des Systems o die Form 
U x t ß L besitzt, so ist jede Zahl oj des Systems o auch von der 
Form Ex L ß t ; mithin bilden die Zahlen ß L ebenfalls eine Grund 
reihe des Körpers, und folglich ist z/(/3 x ... ß n ) = z/(ß), also a — 
dzA T (fr), was zu beweisen war. 
Zugleich leuchtet ein, daß nach der Methode des vorigen Para 
graphen ein System von a inkongruenten Repräsentanten der ver 
schiedenen Klassen, also ein vollständiges Restsystem für den 
Modul [i auf gestellt werden kann*). 
3. Will man jetzt zwei gegebene ganze Zahlen ö, ¿c darauf 
prüfen, ob sie relative Primzahlen sind, so braucht man offenbar co 
nur ein vollständiges Restsystem (mod ( u) durchlaufen zu lassen und 
nachzusehen, wie oft 0 co = 0 (mod ¡i) wird; zeigt sich, daß dies nur 
dann eintritt, wenn cj = 0 (mod ¿i) ist, so ist also jede durch 6 und 
*) Bilden die n Zahlen coi irgendeine Basis des Körpers ¿2, und ist 0 
das System aller der Zahlen co von der Form (1), deren Koordinaten ganze Zahlen 
sind, so reproduzieren sich die Zahlen des Systems o durch Addition und Sub 
traktion; nimmt man ferner an, daß sie sich auch durch Multiplikation reproduzieren, 
woraus zugleich folgt, daß sie ganze Zahlen sind, und nennt man zwei solche 
Zahlen co, co' stets und nur dann kongruent in bezug auf eine dritte solche Zahl 
fi, wenn der Quotient (co — co') : fc wieder eine Zahl des Systems o ist, so ist die 
Anzahl der in 0 enthaltenen, nach fi inkongruenten Zahlen ebenfalls = + j\ T (fi)• 
Vgl. § 165, 4.