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ft teilbare ganze Zahl 0 co auch teilbar durch 0 ¿u, mithin sind 0, ft 
relative Primzahlen; besitzt aber die Kongruenz 6 co = 0 (mod ft) auch 
eine Wurzel co, welche nicht = 0 (mod ft) ist, so ist die entsprechende 
Zahl 0 co durch 0 und ft, aber nicht durch 0 ft teilbar, mithin sind 0, 
ft keine relative Primzahlen. 
Ist 0 relative Primzahl zu ft (z. B. 0 = 1), so durchläuft 0 co 
gleichzeitig mit co ein vollständiges Restsystem (mod ft); folglich hat 
jede Kongruenz 0 co = 0' (mod ft) immer eine und nur eine Wurzel co 
(vgl. § 22); ist ferner die Anzahl aller Klassen, deren Zahlen 
relative Primzahlen zum Modul ft sind, so durchläuft 0 co gleichzeitig 
mit co die Repräsentanten aller dieser Klassen, und da das Produkt 
dieser Zahlen co auch relative Primzahl zu ft ist, so ergibt sich der Satz 
0^(“) = 1 (mod ft), 
welcher dem Ferm ätschen Satze (§ 19) entspricht. 
4. Verfolgt man diese Analogie mit der rationalen Zahlentheorie 
weiter, so drängt sich immer wieder die Frage nach der Zusammen 
setzung der Zahlen des Systems o (d. h, der ganzen Zahlen des 
Körpers £2) aus Faktoren auf, welche demselben System o angehören, 
und es zeigt sich zunächst, daß die unbegrenzte Zerlegbarkeit der 
ganzen Zahlen, wie sie in dem unendlichen Körper aller algebraischen 
Zahlen auftrat (§ 160, 7.), in einem endlichen Körper £2 wieder ver 
schwindet. Dafür tritt aber bei unendlich vielen solchen Körpern 
ein höchst eigentümliches Phänomen auf, das schon früher (§ 16) 
gelegentlich erwähnt ist*). Nennt man eine Zahl in o zerlegbar, 
wenn sie das Produkt aus zwei Zahlen in o ist, welche beide keine 
Einheiten sind, dagegen unzerlegbar, wenn dies nicht der Fall ist, 
so ist offenbar jede zerlegbare Zahl ft darstellbar als Produkt aus 
einer endlichen Anzahl von unzerlegbaren Zahlen (vgl. § 8), weil 
die Norm von ft gleich dem Produkte aus den Normen der einzelnen 
Faktoren ist (§ 159); aber es zeigt sich häufig, daß diese Zerlegung nicht 
*) Das dortige Beispiel paßt freilich nicht ganz hierher, insofern die ganzen 
Zahlen des der Gleichung $> * 2 = —11 entsprechenden quadratischen Körpers nicht 
durch die Form t-j-u?, wohl aber durch die Form t-\-u0 erschöpft werden, wo 
2 0 = 1-j-^ ist; die Zahlen 3, 5, 2 —[— 2 — q sind in der Tat zerlegbar: 8 = 
0(1 — 0), 5 = (1 + 0) (2 — 0), 2 — q = — 0(1 + 0), 2 + ? = —(1 — 0) (2-0); 
die vier Zahlen 0, 1 — 0, 1 + 0, 2 — 0 sind Primzahlen in diesem Körper. Die 
in Eede stehende Erscheinung tritt aber in dem der Gleichung k 2 = — 5 ent 
sprechenden quadratischen Körper an dem Beispiel 8-7 = (1 + 2j«)(1 — 2«) 
wirklich auf (vgl. § 71; die beiden Zahlen 3, 7 sind durch die Hauptform der 
Determinante — 5 nicht darstellbar).