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mehreren Klassen (mod ft) besteht —, so ist (zufolge § 162, 2.) die 
Anzahl der Klassen (mod a), in welche o zerfällt, endlich*). Wählt 
man aus jeder Klasse ein Individuum als Repräsentanten, so bilden 
dieselben ein vollständiges Restsystem (mod a); die Anzahl dieser 
Klassen oder inkongruenten Zahlen soll die Norm von a heißen 
und mit N (a) bezeichnet werden. 
Ist t] eine von Null verschiedene Zahl in o, so bilden alle durch 
rj teilbaren Zahlen in o ein Ideal, welches mit t(?y) bezeichnet werden 
soll; solche Ideale sind besonders ausgezeichnet und sollen Haupt- 
ideale heißen; die Norm von t(rj) ist — +A T (ij); ist rj eine Ein 
heit, so ist i(^) = o, und umgekehrt. 
2. Wenn alle Zahlen eines Ideals a auch in einem Ideal b ent 
halten sind, so besteht offenbar b aus einer oder mehreren Klassen 
(mod a), und wir wollen sagen, a sei ein Multiplum von b oder 
teilbar durch b, b sei ein Teiler von a oder gehe in a auf. 
Besteht b aus r Klassen (mod a), so ist N (a) = r N (b). Durch 
läuft nämlich 8 die Repräsentanten dieser r Klassen und y ein voll 
ständiges Restsystem (mod b), so bilden die r N (b) Zahlen y -(- 8 ein 
vollständiges Restsystem (mod a); denn erstens ist jede Zahl in o 
kongruent einer Zahl y (mod b), also = y -f- 8 (mod a), und zweitens 
folgt aus y -f- 8 = y' -f 8’ (mod a), wo y\ 8' ähnliche Bedeutung 
haben wie y, 8, sukzessive y 8 = y' -f- 8' (mod b), y = y (mod b), 
y = y, also 8 = 8' (mod a), 8 — 8', d. h. die sämtlichen Zahlen 
y -)- 8 sind inkongruent (mod a). 
Ein Ideal besitzt folglich nur eine endliche Anzahl von Teilern. 
Ist tn teilbar durch a, a durch b, so ist auch m durch b teilbar. 
Das Hauptideal o selbst geht in jedem Ideal auf und ist zugleich 
das einzige Ideal, welches die Zahl 1 oder überhaupt Einheiten ent 
hält, und dessen Norm = 1 ist. 
Das System aller derjenigen Zahlen, welche gleichzeitig in zwei 
Idealen a, b enthalten sind, ist das kleinste gemeinschaftliche 
Multiplum m von a, f>, insofern jedes gemeinschaftliche Multiplum 
von a, b durch das Ideal m teilbar ist. Durchläuft a alle Zahlen in 
a, ß alle Zahlen in b, so ist das System aller Zahlen « + ß der 
*) Dasselbe ergibt sich unmittelbar aus § 161; ist nämlich co irgendeine Zahl 
in o, so kann durch Multiplikation mit einer von Null verschiedenen ganzen 
rationalen Zahl der Quotient co: ¡u in eine ganze Zahl, also co (zufolge II.) in eine 
Zahl des Ideals a verwandelt werden.