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Denn da q v r = q' fi r , <s v s — 6' n s und keins der Produkte v q\ 
vö' durch n teilbar ist, so folgt Qöv r + S = q'ö' [i r + s , und v q'ö' 
kann nicht durch ¡x teilbar sein, weil 13 ein Primideal ist. 
Ist e 1 der Exponent der höchsten in selbst aufgehenden 
Potenz von 13, also [xv e — x;a e , wo vx nicht teilbar durch [i, so 
folgt v e — k fi e ~ 1 , d. h. der Exponent der höchsten in v auf gehen 
den Potenz von 13 ist = e — 1. Das Ideal p e besteht aus den sämt 
lichen Wurzeln 0 der Kongruenz k6 = 0 (mod ^). Die ganze Zahl 
e 
k — K[i:v — Vfi3i e_1 ist durch 13, aber nicht durch p 2 teilbar; mit 
hin ist X r durch l3 r , aber nicht durch p r + 1 teilbar, woraus beiläufig 
folgt, daß die Ideale p r und p r + 1 wirklich verschieden sind. End 
lich leuchtet folgender Satz ein: 
Jede Potenz p r eines einfachen Ideals p ist durch kein 
von 13 verschiedenes Primideal teilbar. Ist nämlich n irgend 
eine Zahl in 13, so muß ein in auf gehendes Primideal in ?t r , also 
(zufolge 3.) in n selbst, d. h. in 13 auf gehen und folglich mit 13 iden 
tisch sein. 
5. Die Wichtigkeit der einfachen Ideale und ihre Analogie mit 
den rationalen Primzahlen tritt unmittelbar hervor in dem folgenden 
Hauptsatz: 
Wenn alle in einer von Null verschiedenen Zahl auf 
gehenden Potenzen einfacher Ideale auch in einer Zahl r] 
aufgehen, so ist rj durch teilbar. Ist rj nicht teilbar durch /x, 
so gibt es (zufolge 3.) eine durch rj teilbare Zahl v der Art, daß 
alle Wurzeln % der Kongruenz vtc = 0 (mod ein in [i aufgehendes 
einfaches Ideal p bilden; ist die höchste in p auf gehende Potenz, 
so ist (nach 4.) p 6-1 die höchste in v auf gehende Potenz, und da v 
durch rj teilbar ist, so kann rj nicht durch p e teilbar sein, was zu 
beweisen war. Derselbe Satz läßt sich offenbar auch so aussprechen: 
Jedes Hauptideal t(^) ist das kleinste gemeinschaftliche 
Multiplum aller in ft aufgehenden Potenzen von einfachen 
Idealen, Es folgt zunächst: 
Jedes Primideal p ist ein einfaches Ideal. Es sei irgend 
eine von Null verschiedene Zahl in p, so muß p (zufolge 3.) in einer 
der Potenzen einfacher Ideale auf gehen, deren kleinstes gemeinschaft 
liches Multiplum i[(i) ist; mithin ist p selbst (zufolge 4.) ein ein- 
Dedekind, Gesammelte Werke, IU. YJ