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faches Ideal. — Wir sprechen daher künftig nur noch von Prim 
idealen, nicht mehr von einfachen Idealen. 
Wenn alle in einem Ideal m aufgehenden Potenzen von 
Primidealen auch in einer Zahl r\ aufgehen, so ist rj teilbar 
durch nt. Ist 7] nicht teilbar durch nt, so gibt es (nach 3.) eine 
durch rj teilbare Zahl v der Art, daß alle Wurzeln n der Kongruenz 
vn = 0 (mod m) ein Primideal p bilden; ist p e die höchste in m 
aufgehende Potenz von p, so gibt es in m eine nicht durch p e + 1 teil 
bare Zahl fi, und das aus allen Wurzeln q der Kongruenz vq == 0 
(mod fi) bestehende Ideal r ist teilbar durch p, weil v q = 0 (mod nt) 
ist. Sind nun p e , p' e ', p" e ", ... die sämtlichen höchsten in fi auf 
gehenden Potenzen verschiedener Primideale p, p', p", ..., so besteht r 
zufolge des obigen Hauptsatzes aus allen gemeinschaftlichen Wurzeln p 
der Kongruenzen v q == 0 (mod p e ), vq = 0 (mod p' e '), v q = 0 
(mod p'' e '') usw., d. h. r ist das kleinste gemeinschaftliche Multiplum 
der Ideale q, q', q", ..., welche bzw. aus den Wurzeln jeder einzelnen 
dieser Kongruenzen bestehen; da nun die Ideale q', q", ... als Teiler 
von p' e ', p'' e ", ... nicht durch p teilbar sind, so muß, weil r durch p 
teilbar ist, auch q (zufolge 3.) durch p teilbar sein; es kann folglich 
p e nicht in v aufgehen (weil sonst q = o, also nicht durch p teilbar 
wäre), und da v durch rj teilbar ist, so kann p e auch nicht in r] 
aufgehen, was zu beweisen war. 
Dieser Fundamentalsatz läßt sich offenbar auch so aus 
sprechen: Jedes Ideal ist das kleinste gemeinschaftliche 
Multiplum aller in ihm aufgehenden Potenzen von Prim 
idealen. Er entspricht durchaus dem Fundamentalsatze der ratio 
nalen Zahlentheorie über die Zusammensetzung der Zahlen aus Prim 
zahlen (§8); denn ihm zufolge ist jedes Ideal m vollständig 
bestimmt, sobald die höchsten in m aufgehenden Potenzen p e , p' e ', 
p" e ", ... von Primidealen gegeben sind; aus ihm ergibt sich auch 
ohne weiteres der folgende Satz: Ein Ideal tn ist stets und nur 
dann durch ein Ideal b teilbar, wenn alle in b aufgehenden 
Potenzen von Primidealen auch in m aufgehen. Dies folgt 
unmittelbar aus dem Begriffe des kleinsten gemeinschaftlichen 
Multiplums. 
Ist m das kleinste gemeinschaftliche Multiplum von p e , 
p' c ', p" e ", ..., wo p, p', p”, ... voneinander verschiedene Prim 
ideale bedeuten, so ist N (nt) = N (p) e N (p') Ä ' N (p") e " ... Es