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= + 1 dans le cas, et seulement dans ce cas, où sera une unité. 
Si maintenant un nombre du système o est dit décomposable, 
lorsqu’il est le produit de deux nombres de ce système, dont aucun 
ne soit une unité, il suit évidemment de ce qui précède que tout 
nombre décomposable peut toujours être représenté comme le produit 
d’un nombre fini de facteurs indécomposables. 
Ce résultat correspond encore complètement à la loi qui a lieu 
dans la théorie des nombres entiers rationnels ou complexes, savoir 
que tout nombre composé peut être représenté par le produit d’un 
nombre fini de facteurs premiers; mais en même temps c’est ici le 
point où l’analogie, observée jusqu’ici, avec l’ancienne théorie menace 
de se rompre pour toujours. Dans ses recherches sur le domaine 
des nombres qui appartiennent à la théorie de la division du cercle, 
et qui correspondent par suite aux équations de la forme 6 m — 1, 
Kummer a remarqué l’existence d’un phénomène par lequel les 
nombres de ce domaine se distinguent en général de ceux qu’on a 
considérés auparavant, d’une manière si complète et si essentielle, 
qu’il restait à peine un espoir quelconque de conserver les lois 
simples qui régissent l’ancienne théorie des nombres. En effet, tandis 
que, dans le domaine des nombres entiers, tant rationnels que com 
plexes, tout nombre composé ne peut se mettre que d’une seule 
manière sous la forme d’un produit de nombres premiers, on re 
connaît que, dans les domaines numériques considérés par Kummer, 
un nombre décomposable peut souvent se représenter de plusieurs 
manières, entièrement différentes entre elles, sous la forme 
d’un produit de nombres indécomposables, ou, ce qui dans le fond 
revient au même, on reconnaît que les nombres indécomposables 
ne possèdent pas tous le caractère d’un nombre premier proprement 
dit, lequel consiste en ce qu’un nombre premier ne peut diviser un 
produit de deux ou de plusieurs facteurs, s’il ne divise au moins 
un de ces facteurs. Mais plus le succès des recherches ultérieures 
sur de tels domaines numériques devait sembler désespéré*), plus 
*) Dans le Mémoire: De numeris complexis qui radicibus unitatis 
et numeris integri realibus constant (Yrastislaviæ, 1844, §8), Kummer 
dit: «Maxime dolendum videtur, quod hæc numerorum realium virtus, ut in fac 
tores primos dissolvi possint qui pro eodem numero semper iidem sint, non eadem 
est numerorum complexorum, quæ si esset tota hæc doctrina, quæ magnis adhuc 
difficultatibus laborat, facile absolvi et ad finem perduci posset.» 
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