zugleich ist aber
Q b = ^21*3 ■ • • IV 9a • • * 9«
also •
-WO 6 ) = N(.P 1 )N(h)...N(f r )NM...NÜ,),
mithin wirklich N (ah) — N (a) N (£>), was zu beweisen war.
8. Ein Ideal a (oder eine Zahl a) ist stets und nur dann durch
ein Ideal b (oder eine Zahl 8) teilbar, wenn alle in b (oder 8) auf
gehenden Potenzen von Primidealen auch in o (oder a) aufgehen.
Denn wenn p ein Primideal ist, und in einem Ideale b auf
geht, so ist (nach 6.) b = ep m , und wenn man das Ideal e (nach 4.)
in seine Primfaktoren zerlegt, so ist auch b als Produkt von lauter
Primidealen dargestellt, unter denen folglich der Faktor p mindestens
mmal vorkommt; umgekehrt, wenn in der Zerlegung von b in Prim
faktoren das Primideal $ mindestens mmal als Faktor auf tritt, so
ist b offenbar durch teilbar. Wenn daher gesagt wird, daß alle
in b aufgehenden Potenzen von Primidealen auch in einem Ideale a
auf gehen, so heißt dies nichts anderes, als daß alle in der Zerlegung
von b auftretenden Primfaktoren auch sämtlich mindestens ebenso
oft in der Zerlegung von a als Faktoren auf treten; unter den Fak
toren von a finden sich daher zunächst alle Faktoren von b, und
wenn man das Produkt der übrigen Faktoren von a mit r bezeichnet,
so ist a = rb, und folglich ist a teilbar durch b. Daß aber um
gekehrt, wenn b ein Teiler von a ist, alle in b auf gehenden Potenzen
von Primidealen auch in a aufgehen, versteht sich von selbst.
Nachdem unser Satz bewiesen ist, bemerken wir noch folgendes.
Vereinigt man alle untereinander gleichen Primfaktoren eines Ideals a
zu einer Potenz, so erhält man
a = p a q & r c . •.,
wo 1), q, r... lauter voneinander verschiedene Primideale bedeuten,
und nach dem eben bewiesenen Satze sind die sämtlichen Teiler
von a in der Form t ,
b = p a q ö r c ...
enthalten, wo die Exponenten a\ b\ c!... den Bedingungen
0<^a'<:a, O^b'^b, 0<!c'<:c...
genügen; da je zwei verschiedenen Kombinationen von Exponenten
b\ c'... (nach 4.) zwei verschiedene Ideale b entsprechen, so ist
die Anzahl aller verschiedenen Teiler
= (a + l)(6 + l)(c+l)...
