9. Ist m das kleinste gemeinschaftliche Vielfache und b der 
größte gemeinschaftliche Teiler der beiden Ideale a, b, so ist 
a = ba', b = bb', mb = ab, 
m = b a' b' = ab' = b a', 
wo a', b' relative Primideale bedeuten. Ist ferner b c teilbar durch a, 
so ist c teilbar durch a'. 
Denn weil a und b durch b teilbar sind, so kann man (nach 6.) 
a = ba', b == bb' setzen; bedeutet nun b' den größten gemeinschaft 
lichen Teiler der Ideale a', b', so ist (nach § 170, 1.) das Produkt 
bb' ein gemeinschaftlicher Teiler von a, b, also auch ein Teiler von b, 
woraus (nach 6.) b' = o folgt; mithin sind a', b' relative Primideale. 
Ist nun bc teilbar durch a, also bb'c teilbar durch ba', so muß 
(nach 6.) a' in b'c, mithin (nach § 171, 5.) auch in c aufgehen. 
Hieraus folgen sofort die Behauptungen über m; da nämlich m teilbar 
durch b, also (nach 6.) von der Form bc, zugleich aber auch teilbar 
durch o ist, so ist c teilbar durch a', also m teilbar durch ba' 
(nach § 170, 1.); da aber umgekehrt dieses letztere Ideal ba' = ba'b' 
= ab' ein gemeinschaftliches Vielfaches von o, b ist, so muß es durch m 
teilbar und folglich = m sein, was zu beweisen war. 
Erläuterungen zu den vorstehenden Abhandlungen XLVI bis XLIX. 
Im vorangehenden ist das „Elfte Supplement“ in den verschiedenen Fassungen 
gegeben, vollständig in der letzten, während von den früheren nur jeweils das dort 
nicht Übernommene gebracht wurde. Es zeigt sich, daß die Entwicklungen zur 
analytischen Zahlentheorie — Dedekindsche ^-Funktion, transzendente Be 
stimmung der Klassenzahl — fast unverändert in alle Auflagen übernommen wurden, 
ebenso die Theorie der Einheiten. Dagegen hat das, was als Dedekinds ureigene 
Schöpfung zu bezeichnen ist, Körpertheorie und Idealtheorie, von Auflage zu Auf 
lage neue Formen angenommen. 
Die erste Begründung der Körpertheorie (in der 2. Auflage, XLYII) ruht voll 
ständig auf hyperkomplexer Grundlage, einer Grundlage, die Dedekind später 
verlassen hat, weil sie für die hier vorliegenden Zwecke entbehrlich war, wohl 
auch um das Verständnis zu erleichtern; die hyperkomplexe Theorie war noch 
sehr kompliziert und formal. Die hyperkomplexe Auffassung, deren Wichtigkeit 
in neuester Zeit immer mehr hervortritt, steht aber auch hinter den späteren 
Fassungen; sie findet sich wieder ziemlich stark in Dedekind-Weber (vgl. die Er 
läuterungen zu XVIII). Die weiteren hyperkomplexen Arbeiten schlichen direkt an die 
ursprüngliche Begründung der Körpertheorie an (vgl. die Erläuterungen zu XX). 
Die ausführliche Entwicklung der Galoisschen Theorie in der heutigen Form 
findet sich erst in der 4. Auflage (XLVI), Andeutungen davon schon in der ersten 
Begründung der Körpertheorie (vgl. Anm. *) S. 228), weiter ausgeführte in den 
folgenden Darstellungen. Dedekind geht aus von der Betrachtung der Iso