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morphismen beliebiger Körper und ihrer Zusammensetzung, Betrachtungen, die
erst in neuester Zeit wieder aufgenoramen wurden; durch Spezialisierung auf
Galoissche Körper kommt er zur Automorphismengruppe. Diese Auffassung der
Galoissehen Gruppe als Automorphismengruppe ist einer der Ausgangspunkte in
der neueren Entwicklung der Algebra geworden; Dedekind hat sie schon in
seinen Göttinger Vorlesungen 1857/58 entwickelt (vgl. Anm. *) S. 52). Dabei
arbeitet Dedekind bei dem Portsetzungssatz der Isomorphismen ohne Benutzung
eines primitiven Elements, ein Umstand, der ihm die Übertragung auf unendliche
Körper ermöglichte (XXXI); auch das ist erst in neuester Zeit allgemein in die
Algebra eingedrungen.
Die Entwicklung der Idealtheorie läuft ganz ähnlich wie die der Körper
theorie; die ersten Passungen sind allgemeiner, aber noch sehr kompliziert. Die
erste Begründung der 2. Auflage (XLVII) spaltet den Zerlegungssatz in zwei Teile:
das Ideal wird als kl. gern. Yielf. (Durchschnitt) von symbolischen Primideal
potenzen dargestellt; erst dann wird der Produktbegriff eingeführt und zu der
üblichen Zerlegungsform übergegangen. Dabei wird aber schon bei der Durch
schnittsdarstellung benutzt, dal] es sich um die Hauptordnung handelt; die ganze
Abgeschlossenheit wird wesentlich herangezogen.
Die 3. Auflage enthält ein Stück allgemeine Idealtheorie, die eindeutige
Zerlegung der Ideale einer Ordnung in Primärideale (einartige Ideale). Der aus
geführte Beweis fand sich im Nachlaß mit dem Vermerk „für die dritte Auflage
kassiert, doch wichtig“ und ist jetzt an der betreffenden Stelle wieder ein
gefügt (XLIX). Daß nur in der Hauptordnung die ausnahmslose Darstellung der
Primärideale als Potenzen von Primidealen gilt, ist dort (XLIX, § 172) klar aus
gesprochen, ebenso, daß nur in der Hauptordnung ausnahmslos aus Teilbarkeit
Produktdarstellung folgt; auch auf die Bedeutung der allgemeineren Idealtheorie
ist hingewiesen. Bis auf diese Zufügungen ist der Aufbau aus der französischen
Darstellung (XLVIII) übernommen, die im übrigen stärker als die übrigen
Passungen durch zahlreich eingefügte Beispiele den Charakter einer elementaren
Einführung trägt.
Die 4. Auflage (XLVI) steht auf neuer Grundlage: sie stellt die Gruppen
eigenschaft der ganzen und gebrochenen Ideale in den Vordergrund, indem auf
Grund der ganzen Abgeschlossenheit — formal eingekleidet in einen allgemeinen
Modulsatz — gezeigt wird, daß jedes Ideal ein eigentlicher (umkehrbarer) Modul
ist. Diese Auffassung wollte Dedekind in einer nicht mehr zur Ausführung ge
kommenen 5. Auflage noch unterstreichen, dadurch, daß er von vornherein ganze
und gebrochene Ideale seinen Definitionen zugrunde legte. Im übrigen plante er
nach den Vorgefundenen Notizen keine wesentliche Änderung des 11. Supplements,
nur ein noch etwas stärkeres Hervorheben der formalen Modulidentitäten, im An
schluß an XXX.
Über die axiomatische Begründung der Idealtheorie, die überall durch Dede
kind sehe Gedankengänge beeinflußt ist, ist in den Erläuterungen zu XXV be
richtet; die Begriffsbildungen des 11. Supplements durchziehen heute die ganze
abstrakte Algebra.
Noether,