Full text: Gesammelte mathematische Werke (3. Band)

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morphismen beliebiger Körper und ihrer Zusammensetzung, Betrachtungen, die 
erst in neuester Zeit wieder aufgenoramen wurden; durch Spezialisierung auf 
Galoissche Körper kommt er zur Automorphismengruppe. Diese Auffassung der 
Galoissehen Gruppe als Automorphismengruppe ist einer der Ausgangspunkte in 
der neueren Entwicklung der Algebra geworden; Dedekind hat sie schon in 
seinen Göttinger Vorlesungen 1857/58 entwickelt (vgl. Anm. *) S. 52). Dabei 
arbeitet Dedekind bei dem Portsetzungssatz der Isomorphismen ohne Benutzung 
eines primitiven Elements, ein Umstand, der ihm die Übertragung auf unendliche 
Körper ermöglichte (XXXI); auch das ist erst in neuester Zeit allgemein in die 
Algebra eingedrungen. 
Die Entwicklung der Idealtheorie läuft ganz ähnlich wie die der Körper 
theorie; die ersten Passungen sind allgemeiner, aber noch sehr kompliziert. Die 
erste Begründung der 2. Auflage (XLVII) spaltet den Zerlegungssatz in zwei Teile: 
das Ideal wird als kl. gern. Yielf. (Durchschnitt) von symbolischen Primideal 
potenzen dargestellt; erst dann wird der Produktbegriff eingeführt und zu der 
üblichen Zerlegungsform übergegangen. Dabei wird aber schon bei der Durch 
schnittsdarstellung benutzt, dal] es sich um die Hauptordnung handelt; die ganze 
Abgeschlossenheit wird wesentlich herangezogen. 
Die 3. Auflage enthält ein Stück allgemeine Idealtheorie, die eindeutige 
Zerlegung der Ideale einer Ordnung in Primärideale (einartige Ideale). Der aus 
geführte Beweis fand sich im Nachlaß mit dem Vermerk „für die dritte Auflage 
kassiert, doch wichtig“ und ist jetzt an der betreffenden Stelle wieder ein 
gefügt (XLIX). Daß nur in der Hauptordnung die ausnahmslose Darstellung der 
Primärideale als Potenzen von Primidealen gilt, ist dort (XLIX, § 172) klar aus 
gesprochen, ebenso, daß nur in der Hauptordnung ausnahmslos aus Teilbarkeit 
Produktdarstellung folgt; auch auf die Bedeutung der allgemeineren Idealtheorie 
ist hingewiesen. Bis auf diese Zufügungen ist der Aufbau aus der französischen 
Darstellung (XLVIII) übernommen, die im übrigen stärker als die übrigen 
Passungen durch zahlreich eingefügte Beispiele den Charakter einer elementaren 
Einführung trägt. 
Die 4. Auflage (XLVI) steht auf neuer Grundlage: sie stellt die Gruppen 
eigenschaft der ganzen und gebrochenen Ideale in den Vordergrund, indem auf 
Grund der ganzen Abgeschlossenheit — formal eingekleidet in einen allgemeinen 
Modulsatz — gezeigt wird, daß jedes Ideal ein eigentlicher (umkehrbarer) Modul 
ist. Diese Auffassung wollte Dedekind in einer nicht mehr zur Ausführung ge 
kommenen 5. Auflage noch unterstreichen, dadurch, daß er von vornherein ganze 
und gebrochene Ideale seinen Definitionen zugrunde legte. Im übrigen plante er 
nach den Vorgefundenen Notizen keine wesentliche Änderung des 11. Supplements, 
nur ein noch etwas stärkeres Hervorheben der formalen Modulidentitäten, im An 
schluß an XXX. 
Über die axiomatische Begründung der Idealtheorie, die überall durch Dede 
kind sehe Gedankengänge beeinflußt ist, ist in den Erläuterungen zu XXV be 
richtet; die Begriffsbildungen des 11. Supplements durchziehen heute die ganze 
abstrakte Algebra. 
Noether,
	        
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