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Gesetzen dar, zu welchen man durch die Einführung der vier arith 
metischen Grundoperationen gelangt. Die Addition ist die Zusammen 
fassung einer beliebigen Wiederholung des obigen einfachsten Aktes 
zu einem einzigen Akte, und aus ihr entspringt auf dieselbe Weise die 
Multiplikation. Während diese beiden Operationen stets ausführbar 
sind, zeigen die umgekehrten Operationen, die Subtraktion und 
Division, nur eine beschränkte Zulässigkeit. Welches nun auch die 
nächste Veranlassung gewesen sein mag, welche Vergleichungen oder 
Analogieen mit Erfahrungen, Anschauungen dazu geführt haben mögen, 
bleibe dahingestellt; genug, gerade diese Beschränktheit in der Aus 
führbarkeit der indirekten Operationen ist jedesmal die eigentliche 
Ursache eines neuen Schöpfungsaktes geworden; so sind die negativen 
und gebrochenen Zahlen durch den menschlichen Geist erschaffen, 
und es ist in dem System aller rationalen Zahlen ein Instrument von 
unendlich viel größerer Vollkommenheit gewonnen. Dieses System, 
welches ich mit R bezeichnen will, besitzt vor allen Dingen eine 
Vollständigkeit und Abgeschlossenheit, welche ich an einem anderen 
Orte*) als Merkmal eines Zahlkörpers bezeichnet habe, und welche 
darin besteht, daß die vier Grundoperationen mit je zwei Individuen 
in R stets ausführbar sind, d. h. daß das Resultat derselben stets 
wieder ein bestimmtes Individuum in R ist, wenn man den einzigen 
Fall der Division durch die Zahl Null ausnimmt. 
Für unseren nächsten Zweck ist aber noch wichtiger eine andere 
Eigenschaft des Systems R, welche man dahin aussprechen kann, daß 
das System R ein wohlgeordnetes, nach zwei entgegengesetzten Seiten 
hin unendliches Gebiet von einer Dimension bildet. Was damit ge 
meint sein soll, ist durch die Wahl der Ausdrücke, welche geo 
metrischen Vorstellungen entlehnt sind, hinreichend angedeutet; um 
so notwendiger ist es, die entsprechenden rein arithmetischen Eigen 
tümlichkeiten hervorzuheben, damit es auch nicht einmal den Anschein 
behält, als bedürfte die Arithmetik solcher ihr fremden Vorstellungen. 
Soll ausgedrückt werden, daß die Zeichen a und 6 eine und 
dieselbe rationale Zahl bedeuten, so setzt man sowohl a = b wie 
b = a. Die Verschiedenheit zweier rationaler Zahlen a, b zeigt sich 
darin, daß die Differenz a—h entweder einen positiven oder einen 
♦) Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet. Zweite 
Auflage. § 159.