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Körpers M, und je eine Permutation des letzteren, so ist in ihr 
immer eine vollständig bestimmte Abbildung cp von A enthalten, 
welche darin besteht, daß für jede in A, also auch in M enthaltene 
Zahl a das Bild acp = an ist, und es leuchtet aus den Grundgesetzen 
in § 161 unmittelbar ein, daß diese Abbildung cp eine Permutation 
von A ist; wir wollen sie den auf A bezüglichen Divisor von je, 
und umgekehrt je ein Multiplum von cp nennen. Offenbar ist qp _1 
zugleich ein Divisor von je -1 . Wenn A = M ist, so ist natürlich 
auch cp = je; in jedem anderen Falle, d. h, wenn A ein echter 
Divisor von M ist, wird man aber cp von je streng unterscheiden 
müssen*). Ist % wieder ein Divisor einer Permutation q, so leuchtet 
ein, daß cp auch ein Divisor von q ist. Ist % die identische Per 
mutation von M, so ist cp die identische Permutation von A. Die 
einzige — nämlich die identische — Permutation des Körpers R der 
rationalen Zahlen ist (nach § 161) gemeinsamer Divisor aller Körper- 
Permutationen. Allgemein gilt der folgende Fundamentalsatz: 
Bedeutet TI irgendein System von Permutationen n be 
liebiger Körper M, so bildet die Gesamtheit A aller zu TT 
einwertigen Zahlen a einen Körper, der ein gemeinsamer 
Divisor der Körper M ist; die Permutationen n haben alle 
einen und denselben auf A bezüglichen Divisor cp, und jeder 
gemeinsame Divisor ip der Permutationen n ist Divisor dieser 
Permutation cp. 
Denn das Wesen einer zu TT einwertigen Zahl a besteht (nach 
§161) darin, daß die den sämtlichen Permutationen je entsprechenden 
Bilder an einen und denselben Wert besitzen, mithin folgt aus den 
Grundgesetzen (in § 161), daß die Summen, Differenzen, Produkte 
und Quotienten von je zwei solchen einwertigen Zahlen u, v ebenfalls 
einwertig zu TT sind; also ist A ein Körper. Definiert man ferner 
die Abbildung cp von A, indem man acp = an setzt, so ist cp offen 
bar der auf A bezügliche Divisor von jeder einzelnen Permutation je. 
Wenn endlich eine Permutation ip eines Körpers B gemeinsamer 
Divisor der Permutationen je, und b irgendeine Zahl in B ist, so 
muß b ip mit jedem der Bilder b n übereinstimmen, d. h. b ist eine zu 
TZ einwertige Zahl; folglich ist B Divisor von A, und zugleich 
Divisor von cp, was zu beweisen war. 
*) Auf diese Unterscheidung brauchte in der oben zitierten Schrift (§ 2) kein 
Gewicht gelegt zu werden.