durch p nicht teilbare Zahl D entspräche; erst als alle meine Ver
suche, die Existenz einer solchen Zahl ca nachzuweisen, fruchtlos
blieben, stellte ich mir die Aufgabe, die Unrichtigkeit dieser Ver
mutung darzutun. Wäre sie richtig, so müßten jedesmal, wenn p
durch r verschiedene Primideale p teilbar ist, deren Normen den
selben Wert pf haben, auch mindestens r verschiedene Primfunktionen P
vom Grade / existieren, und umgekehrt, wenn diese letztere Voraus
setzung immer erfüllt wäre, so könnte man auch die Existenz einer
Zahl ca von der angegebenen Beschaffenheit beweisen. Im einfachsten
Fall, wenn / = 1, gibt es genau p verschiedene Primfunktionen
ersten Grades; es fragt sich also, ob nicht ein Körper £i existiert,
in welchem p durch mindestens (p 1) verschiedene Primideale
teilbar ist, welche alle dieselbe Norm p besitzen; der Grad des
Körpers muß dann mindestens = p -f- 1 sein. Der einfachste Fall
wird entstehen, wenn man p — 2 nimmt, und man kann fragen:
gibt es kubische Körper, in welchen die Zahl 2 durch drei ver
schiedene Primideale teilbar ist? In einem solchen würde D stets
eine gerade Zahl sein. Als Grundreihe eines kubischen Körpers kann
man immer die Zahl 1 und zwei andere ganze Zahlen oc, ß wählen,
deren Produkt rational ist. Es wird dann
aa = a a -f- b ß — bb'
ßß = aa~\-b'ß—aa'
aß = ab,
wo a, 6, a, b' ganze rationale Zahlen bedeuten, die jedenfalls keinen
gemeinschaftlichen Teiler haben, und man findet
z/(ß) = z/(l, «, ß) = a' 2 b' 2 -\~ 18aba' b' — áaa' 3 — 4ö&' 8 —21 a 2 b 2 .
Setzt man ferner
ca = z-\-xa-\-yß,
wo z, x, y willkürliche ganze rationale Zahlen bedeuten, so wird
ca 2 — z 2 — bb' x 2 — a a' y 2 -j- 2 a b x y + (a' x 2 -f a y 2 -f- 2 x z) a
-h(bx 2 -hb'y 2 + 2yz)ß,
imd folglich
I) = b x 3 — a x 2 y -f 6' xy 2 — ay 3
unabhängig von z, was wegen der Bedeutung von D notwendig er
folgen mußte. Obgleich nun a, 6, a\ 6' keinen gemeinschaftlichen
Teiler haben, so wird dennoch D stets eine gerade Zahl werden, wenn
a und b gerade, a' und 6' ungerade sind. Dann muß also auch die
