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die Theorie der Transformation der symmetrischen Funktionen ab- 
kiirzen, welche vom Verfasser doch an manchen Stellen (z. B. in 
Vorlesung 5, Nr. 4) als bekannt vorausgesetzt wird. 
Vorlesung 5, Nr. 6 und 7. Die Mitteilung eines speziellen 
Falles des allgemeinen Irreduktibilitätssatzes von Kronecker ver 
anlaßt mich, den eigentlichen Nerv seines Beweises (sowie auch des 
jenigen von Arndt) hier hervorzuheben; dies kann mit verhältnis 
mäßiger Kürze geschehen, wenn man einige allgemeine Begriffe über 
ganze algebraische Zahlen und einige Sätze aus der Theorie der 
Ideale als bekannt voraussetzt, welche ich teils in der zweiten Auf 
lage von Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie bewiesen, teils 
in den Göttinger „Gelehrten Anzeigen“ (20. September 1871) ohne 
Beweis mitgeteilt habe. Bedeutet ¡jl eine primitive m te Einheitswurzel, 
so kommt alles auf den zahlentheoretischen Gehalt der Zahl (1 — fi) 
an. Ist m = 1, so ist 1 — ft = 0; ist aber m durch eine einzige 
Primzahl p teilbar, also eine Potenz derselben, so ist, wie unmittel 
bar einleuchtet; 
p = E (1 — [l) ( P (m \ 
wo s eine Einheit und cp (m) die bekannte Funktion der Zahlentheorie 
bedeutet; ist endlich m durch zwei oder mehrere verschiedene Prim 
zahlen p, q ... teilbar, so muß die Zahl (1 — ft), weil sie in allen 
Zahlen von der Form (1 — ft n ) auf geht, wo n jede ganze positive 
Zahl bedeutet, zufolge des vorhergehenden Falles auch in p, in q ... 
aufgehen und folglich eine Einheit sein, was auch unmittelbar aus 
der Gleichung geschlossen werden kann, welche alle primitiven 
m teo Einheitswurzeln zu Wurzeln hat. Nun sei a eine Potenz einer 
Primzahl p, und m = aö, wo b durch p nicht teilbar ist; man 
erhält dann bekanntlich alle primitiven m ten Einheitswurzeln und jede 
nur einmal, wenn man jede primitive Wurzel der Gleichung x a = I 
mit jeder primitiven Wurzel der Gleichung x b = 1 multipliziert. Ist 
nun a eine bestimmte der ersteren, ß eine bestimmte der letzteren, 
so lautet der noch etwas verschärfte Satz von Kronecker folgender 
maßen : 
„Ist die Grundzahl oder Diskriminante z/(ii) eines Körpers £i 
nicht teilbar durch die Primzahl p, so hat die in Sl irreduktible 
Gleichung /(&) = 0, welcher x = aß genügt, auch alle cp (a) Pro 
dukte aß zu Wurzeln, welche den sämtlichen cp (d) primitiven 
Wurzeln a der Gleichung x a = 1 entsprechen.“