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liehen Mengen ohne Heranziehung des Auswahlpostulats. Daß die obige Definition 
von D e dekind mit der Minimalbedingung äquivalent ist, folgert Tarski aus der auch 
bei Dedekind in einer anderen Fassung auftretenden Relation: a b'% a b[b']. 
Insbesondere gelangt Tarski so von der obigen zu der ursprünglichen Dedekind- 
schen Definition, während der umgekehrte Übergang das Auswahlpostulat erfordert. 
Dedekind glaubte — Vorwort zur 2. Auflage von „Was sind und was 
sollen die Zahlen?“ —, daß der Nachweis der Übereinstimmung der Definitionen 
die volle dort entwickelte Theorie erfordere. Wie er sich den Übergang im einzelnen 
gedacht hatte, zeigt die folgende Stelle aus einem Brief an H. Weber: 
„Die kürzeste Charakterisierung des Endlichen und Unendlichen ist, wie ich 
glaube, diejenige, welche ich am 9. März 1889 gefunden und in dem Vorwort (S. XI) 
zur zweiten Auflage (1893) der Schrift ,Was sind und was sollen die Zahlen? 1 
mitgeteilt habe. Ich spreche sie so aus: ,Ein System S heißt endlich, wenn es 
eine Abbildung von S in sich selbst gibt, durch welche kein echter Teil von S in 
sich selbst abgebildet wird; im entgegengesetzten Falle heißt S ein unendliches 
System. 4 
Nimmt man aber an, daß man die natürliche Zahlenreihe und ihre Gesetze 
schon vollständig kennt, und ersetzt man im vorstehenden das Wort ,heißt‘ durch 
das Wort ,ist‘, so verwandelt sich diese Definition in einen Satz, der sich 
so beweisen läßt; 
Es sei <p eine Abbildung eines Systems S in sich selbst, durch welche kein 
echter Teil von in sich selbst abgebildet wird. Das Bild eines Elementes a 
oder eines Teiles AL von S bezeichne ich mit a<p oder A <p (viel natürlicher als 
<p (a) oder <f (M)). Ist a irgendein Element von S, so sind auch alle Bilder 
a <p, a y 2 = (a <p) f . ■ ■, a <p n +1 — {a <f n ) <p ... 
Elemente von S, also ist auch das System A aller dieser Bilder ein Teil von S, 
und da A f das System aller Bilder 
{a <p) f = a y 1 , (a y 2 ) <p 
a <p° 
also ein Teil von A ist, so wird A durch <p in sich selbst abgebildet; und folglich 
ist A =■ S. Mithin ist a auch Element von A, es gibt also eine kleinste natür 
liche Zahl n, die der Bedingung 
a<p n = a 
genügt. 
Dann ist S das System der n Elemente 
n 2 
a <p, a<p 
a <p 
und diese sind voneinander verschieden. Denn zufolge der Definition von n ist das 
letzte Element verschieden von allen vorhergehenden; wäre ferner 1 5^ r < s < n 
und 
a <p 
a <p 
also 
(a <f r ) f n 8 = (a<p s )f n 
„r + n —Î 
a<p' ' " ~ — a<p = a; 
< n. Daß endlich S keine anderen als diese n Elemente 
= a <p m . Also ist wirklich S ein endliches System (im 
obgleich — s 
enthält, folgt aus a <p m n 
üblichen Sinne), und zugleich ergibt sich, daß <p eine zyklische Permutation