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„Wächst eine Größe beständig, aber nicht über alle Grenzen, so 
nähert sie sich einem Grenzwerth“. Ebenso habe ich (S. 18) aus 
drücklich bemerkt, daß ich keinem Menschen etwas Neues zu sagen 
glaube durch den Satz (C): „Zerfallen alle Puñete ... in zwei Stücke 
hervorbringt“. Ebenso wenig endlich halte ich für neu den in 
meinem letzten Briefe an Sie angeführten Satz (D); „Zerfallen alle 
Größen eine kleinste Größe“. Die ganze Tendenz 
meiner Schrift, die ich in der Einleitung und in § 3. deutlich be 
zeichnet zu haben glaube, geht vielmehr lediglich darauf hinaus, 
mit Benutzung der allgemein bekannten Schnitt-Erscheinung nach 
zuweisen (was meines Wissens noch nirgends geschehen war), daß 
auf der alleinigen Grundlage der Arithmetik der rationalen Zahlen, 
also ohne jede Zuziehung des ziemlich dunkelen und complicirten 
Größen-Begriffes, die irrationalen Zahlen mit einem Schlage definirt 
werden können, und zwar, was das Wichtigste ist, in derjenigen Voll 
ständigkeit (Stetigkeit), welche für einen absolut strengen, wissen 
schaftlichen Aufbau der Arithmetik der reellen Zahlen ausreichend 
und zugleich unentbehrlich ist. Daß dies wirklich gelungen ist, 
stellen Sie, wie ich glaube, nicht in Abrede (dasselbe gilt von der 
Darstellung der Herrn Heine und Cantor in Halle, die nur äußer 
lich von der meinigen verschieden ist); unsere Meinungs - Differenz 
bezieht sich ausschließlich auf die von Ihnen ausgesprochene An 
sicht, daß diese Principien, wenn auch in anderem Gewände, doch 
vollständig in Euklid’s Elementen enthalten seien, und Sie wieder 
holen in Ihrem letzten Briefe diesen Ausspruch theils ausdrücklich, 
theils implicite dadurch, daß Sie in dem zweiten Theile des oben 
citirten Passus gerade die Vollständigkeit oder Stetigkeit, — um 
die allein sich meine ganze Schrift dreht und drehen mußte, wenn 
der beabsichtigte Erfolg erreicht werden sollte —, für etwas Selbst 
verständliches erklären, theils endlich dadurch, daß Sie schreiben: 
„Die .. Definition von der Gleichheit zweier Verhältnisse ... ent 
scheidet Alles mit Einem Schlage. Wenn Sie dies nicht anerkennen, 
so kann ich es mir nur dadurch erklären, dass Sie nicht erwogen 
haben, dass Euklid bei jener Definition die Existenz von Ver 
hältnissen, die nicht dem Verhältniss von zwei ganzen 
Zahlen gleich sind, voraussetzt. Sie haben die Absicht von 
vorne herein nur rationale Zahlen vorauszusetzen und 
Grössen, die durch rationale Zahlen gemessen werden. Euklid