§ 24. Aufgaben. 87 
züglich mit Z,, l 2 , l. A , so erhält man, indem man diese drei Gleichungen 
quadriert und addiert, 
i sin+.+ G /X Qt y 
\sin (Z 3 y ) V Ci y 7 
oder da, wenn q die bekannte Constante (§ 12, 6) bezeichnet, 
sin (13) l 
sin (32) q ’ 
(sin (Z) 7 3 ) _ sin_(13)1 2 _ /ej+v 2 
\sin (7 3 7 2 ) • sin (32) j \ Pi ) 
Zieht man hieraus beiderseits die Wurzel, so hat mau für die 
selbe jenes Zeichen zu nehmen, welches positiv macht, wenn man 
sowohl die Neigungswinkel der Ebenen als auch der Geraden in 
demselben Sinne zählt. Aus dieser Bemerkung erhellt, dafs, wenn E 4 
eine vierte durch die Schnittlinie von E { und E 2 gehende Ebene ist, 
und sie E in der Geraden l 4 schneidet: 
sin (7+) sin (13) sin (ZjZj) _ sin (14) , ej» 2 
sin (7 3 7 2 ) ' sin (32) sin (7 4 7 2 ) ' sin (42) — Pi ’ 
oder sin (7) 7 3 ) # sin (7, 7 4 ) sin (13) < sin (14) 
sin (7 3 7 a ) ‘ sin (7 4 7 2 ) sin (32) * sin (42) 
Nennt man nun analog, wie § 12, 6 das links vom Gleichheits 
zeichen stehende Doppelverhältnis das Doppelverhältnis der vier 
Strahlen Z,, l 2 , Z 3 , Z 4 , so hat man den Satz: 
Schneidet man vier Ebenen, die durch eine Gerade 
gehen, durch eine fünfte Ebene, so ist das Doppelver 
hältnis der vier Schnittlinien gleich dem der vier Ebenen. 
13) Die Gleichungen der Geraden zu finden, welche 
vier gegebene Geraden schneidet. 
Sind drei Gerade gegeben, so lassen sich offenbar unendlich viele 
Geraden ziehen, deren jede alle drei gegebenen Geraden schneidet. 
Wir finden nämlich eine solche Gerade, indem wir durch eine der 
drei gegebenen Geraden eine Ebene legen und die Schnittpuncte der 
letzteren mit den beiden anderen gegebenen Geraden verbinden. 
Sind vier Gerade gegeben, so giebt es noch immer zwei reelle, 
imaginäre oder zusammenfallende Gerade, deren jede dieselben schneidet. 
Es seien etwa 
ux-\-vy-\-wz-\-\ = 0 und u x -f- v y -\- w' z 1=0 
u { x + v 1 y + w x z + 1 = 0 „ u 4 x + v{y + w 4 z + 1 = 0 
u 2 x -f- v 2 y -f- w 2 z +1=0 „ u 2 x + v 2 'y + w 2 z +1=0 
u. A x + v 3 y + w 3 z +1=0 „ u 3 x + v 3 y + w 3 z +1=0 
die Gleichungen der vier gegebenen Geraden.