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I. Abschnitt. Fünftes Capitel. 
stehen, schneiden alle Geraden des Complexes eine be 
stimmte Gerade, und alle Geraden, welche dieselbe schnei 
den, sind Strahlen des Complexes. 
§ 28. 
Die Congruenz zweier linearer Complexe. 
Die Gesammtheit der Geraden, deren Coordinaten zwei linearen 
Gleichungen in Linieneoordinaten gleichzeitig genügen, die also den 
beiden durch diese Gleichungen dargestellten Complexen gemeinsam 
sind, nennen wir eine Congruenz. Audi die Geraden der Congruenz 
können wir als Strahlen oder Axen betrachten und dem entsprechend 
die Congruenz entweder durch das System der Gleichungen der beiden 
Complexe in Strahlen- oder Axencoordinaten darstellen. Sind nun 
ß = 0, ß'= 0 
die Gleichungen der beiden Complexe in Strahlen-, 
0 = 0, 0'= 0 
dieselben in Axencoordinaten, so befriedigen die Strahlen coordinaten 
jeder Geraden der Congruenz das System der beiden ersten und ihre 
Axencoordinaten das System der beiden letzten Gleichungen. Hieraus 
folgt unmittelbar, dafs die Congruenz auch in jedem Complexe ent 
halten ist, der durch die Gleichung 
ß -f- A ß'= 0 oder 0 -j- A 0'= 0, 
wo A ein Parameter ist, dargestellt wird. Wir sagen, dafs alle Com 
plexe , welche sich aus diesen Gleichungen für die verschiedenen Werte 
des Parameters ergeben, und von welchen also je zwei die Congruenz 
bestimmen, eine zweigliederige Gruppe linearer Complexe bilden. 
Aus der Definition der Congruenz ergeben sich unmittelbar zwei 
fundamentale Folgerungen, welche die geometrische Definition der 
Congruenz bilden. 
Die Strahlen eines Complexes, welche durch einen Punct gehen, 
liegen in der dem Puncte entsprechenden Ebene. Bezüglich jedes 
von zwei Complexen entspricht nun dem Puncte eine durch ihn 
gehende Ebene, somit ist die Schnittlinie dieser beiden Ebenen ein 
beiden Complexen gemeinsamer Strahl, also eine Gerade der Congruenz. 
Alle in einer Ebene liegenden Strahlen eines Complexes gehen 
durch den der Ebene entsprechenden Punct. Bestimmt man daher 
für jeden von zwei Complexen den entsprechenden Punct der Ebene, 
so ist die Verbindungslinie derselben ein beiden Complexen gemein 
samer Strahl, also eine Linie der Congruenz. 
Durch jeden Punct des Raumes geht und in jeder Ebene 
des Raumes liegt eine und nur eine G erade der Congruenz,