§ 28. Die Congruenz zweier linearer Complexe. 99 
welche bezüglich die dem Puncte oder der Ebene ent 
sprechende Linie der Congruenz genannt wird. 
Dieser Satz findet seine Ergänzung in dem Umstande, dafs alle 
Linien der Congruenz zwei bestimmte Gerade schneiden. Wir be 
weisen diese Behauptung, indem wir die Thatsache benutzen, dafs 
die Congruenz, welche durch die zwei Complexe, deren Gleichungen 
in Strahlencoordinaten 9 = 0 und Sl'= 0 oder in Axencoordinaten 
bezüglich 0 = 0 und 0'= 0 sind, durch das System je zweier 
anderer Complexgleichuugen dargestellt werden kann, die sich aus 
9 + k 9'= 0 oder 0 -f k0'== 0 (1.) 
für irgend welchen Wert von k ergeben. Wir können nun das l so 
wählen, dafs die beiden Gleichungen, welche die Congruenz bestimmen, 
zwei speciellen Complexen angehören, wie wir sie in § 28 erörterten. 
Ist nämlich 
£1 = A(x~x x ) + B(y—y x )-\-C{z~ e x )+D{ye x — y t 0)-\-F(x l s—xz x ) 
+ F (xy x — x x y) 
& = Ä(x— x t ) -|-B' (y— y x ) + C'{e—z x ) -\-I)\y e l —y l 0) J r F\x x 1) 
+ F\xy x — x x y), 
also 
0 = D {u-~u { )-\-E(y~v x )-\-F{w—w x )-\-A {vw x —wv x )-\-B(ivu x —uw x ) 
-j- C (uvj — u x v) 
0 = D'(u—Mj) ■-\-F‘\v-~v,) ■-\-F\w—w x )-j-A'(v w x —wv x )-\-B'(w u { —u w x ) 
+ C'(uv x — u x v), 
so ist jeder der beiden Complexe, dessen Gleichung aus (1.) erhalten 
wird, wenn wir für k eine Wurzel der quadratischen Gleichung 
(A-\-kA)(D-\-k 1))-j-(jt>-J-kF)(F-j-kF )-j-(C-\-kC')(F-j-kF') =0 
nehmen, ein Complex der speciellen Art. 
Es gieht also in der zweigliederigen Complexgruppe 
9 4- k9'= 0 oder 0 4- k0'= 0 
zwei Complexe von der besonderen Art, dafs in jedem die Complex- 
strahlen eine feste Gerade schneiden, und dafs alle durch einen Punct 
derselben gehenden Geraden Strahlen des Complexes sind. Die Strahlen, 
welche beide Geraden schneiden, und nur diese sind somit zwei Com- 
plexen der Gruppe gemeinsam, also die Linien der Congruenz. Diese 
beiden festen Geraden werden die Directricen der Congruenz genannt. 
Alle Geraden einer Congruenz schneiden die beiden 
Directricen derselben. 
Hiernach ist die Gerade der Congruenz, welche einem gegebenen 
Puncte des Raumes entspricht, diejenige, welche durch den gegebenen 
Y %