HO II. Abschnitt. Sechstes Capitel. Die homogenen Coordinaten. 
u, v, w, g aus und verstehen darunter vier Gröfsen, deren Verhält 
nisse die gewöhnliehen Coordinaten der Ebenen darstellen. 
Ein viel allgemeineres System homogener Coordinaten erhalten 
wir aber offenbar, wenn wir die Verhältnisse der homogenen Coor 
dinateli nicht den früheren Ebenencoordinaten selbst, sondern Quo 
tienten mit demselben Nenner ans linearen Ausdrücken, jeder dieser 
Ausdrücke etwa noch multipliciert mit einer beliebigen aber fest ge 
wählten Constante!!, gleichsetzen. 
Wir verstehen also unter den homogenen Coordinaten einer 
Ebene vier Gröfsen u x , u 2 , u 3 , u 4l ivelche mit den gewöhnlichen Coor 
dinaten m, v, w derselben durch die Verhältnisse Zusammenhängen: 
V : «2 : % • « 4 = 
v| (Aju -j- B 4 v -j— C 4 w -{- jDj) : v 2 (A 2 u -j- B 2 v -J- (j.,w -j- D.-,) 
: v. } (A 3 u -f- B 3 v -f- C.,w -j- D 3 ) : v 4 {Ä 4 u -f- B 4 v -f- C 4 w -j- I) 4 ), 
wo die v { , v 2 , v 3 , v 4 die beliebig aber festgewählten Constante!! be 
deuten. 
Wie diese Relationen zeigen, bestimmen die vier Coordinaten 
unzweideutig eine Ebene, da durch sie ihre Verhältnisse und hiermit 
drei Gleichungen zwischen den Coordinateli der Ebenen w, v, w ge 
geben sind. Aus diesen lassen sich, sobald nur die Determinante 
j A, B 4 , C l , I)j 
Ä 2 , B 2 , C 2 , B 2 
A s , , B 3 , C 3 , IX 
A, b 4 , c At b 4 
nicht verschwindet, die Gröfsen n, v, w stets berechnen. Es lassen 
sich aber nicht umgekehrt aus der Lage der Ebene, d. h. aus ihren 
Coordinaten u, v, w, ihre homogenen Coordinaten u l} u 2 , u 3 , u 4 be 
stimmen, sondern blofs deren Verhältnisse zu einander. Es entsprechen 
demnach einer Ebene unendlich viele Werte ihrer homogonei? Coor 
dinateli, die aber alle in demselben Verhältnisse zu einander stehen; 
und umgekehrt alle Wertsysteme der vier homogenen Ebenencoor 
dinaten, die gleiche Verhältnisse zu einander haben, stellen dieselbe 
Ebene dar. Mittelst eines Proportionalitätsfactors können wir nun 
die obigen Verhältnisse durch das äquivalente Gleichungssystem er 
setzen : 
gu 4 — v 4 {A x % -p B x v -j- G x w -f- JD X ) ' 
(5 u. } = v.) (yl., u —j— B./u —J— C 2 iv -j— I).) j r 
(j Wg = v 3 (A 3 u -j— B 3 v —j— C 3 w —j— -Dg) ^ ^ 
au 4 — v 4 (A 4 u -J- B 4 v -f- C 4 w -f- I) 4 ] .