§ 32. Ebenencoordinaten. 
Ili 
aus dem sich unmittelbar die Notwendigkeit, dafs die Determinante 
nicht verschwinde, ergiebt, da nur unter dieser Voraussetzung bei 
gegebenen homogenen Coordinateli u x , u 2 , u 3 , m 4 sich die vier Un 
bekannten — . —. und - berechnen lassen, also die Lage der Ebene 
fi 7 IT ) ir fi ' 0 
G ’ G f G O 
a ’ a ’ a 
bestimmt werden kann. 
Jede der vier Gleichungen 
A x u -{- v -j- C x w -(- 1)j = 0, A. 2 u -f- 13.2v -f- C 2 w -}- T) 2 = 0 
A 3 u -}- 13 3 v -f- C 3 w -j- .ZI) = 0 , A x u -j- /> 4 v -)- ([ x w -j- D x = 0 
stellt einen Punct dar, welche vier Puncto wegen der Voraussetzung, 
dafs die Determinante nicht verschwinde, nicht alle in einer Ebene 
liegen und also die vier Ecken eines Tetraeders sind. Bezeichnen 
wir nun mit q v q v q 3 , q A die Perpendikel, welche von den einzelnen 
Ecken auf eine Ebene gefällt werde]], deren Coordinaten u, v, w sind, 
so ergeben sich die Ausdrücke § 18 
ÄctV/ —|— — f - ^'2 ^ “f" Do 
A x u -f- B x v + + D x 
D i Yu 2 -f D 2 4- w 2 
A 3 ii -|- B s v -(- C 3 w -f- D 3 
D, Vu 2 -(- v 2 -f- w 2 
A t u + B 4 v + C 4 w + D 4 , 
1) 4 Vu 2 ~+v-~+ü- 2 
. ~ 
T-h Vu 2 -)- V 2 -f- w 2 
Daher erhalten wir für die homogenen Coordinateli die Beziehungen: 
(j u 3 = v, q 3 Z) 3 j/u- v- -f- w l ; 6u A = v 4 q A J) { ]/u l -f v- -f- «?-) 
woraus folgt 
% : : % : u x = l) i v x q A : J) 2 v, q, : Z> 3 v :i q 3 : I) 4 v 4 q x , (3'.) 
oder, wenn wir mit 6 den Proportionalitätsfactor und mit g 17 g 2 , iG? iG 
bezüglich die Constanten v x D x , v 2 D 2 , v ?> J) 2 , v 4 J) x bezeichnen, 
(H h = g, q x , öMj g 2 &, = g 3 £ 3 , = g 4 g 4 . (4'.) 
Da nun hierin die g von derselben Beschaffenheit sind, wie die 
v, so ergiebt sich hieraus für die homogenen Ebenencoordinaten die 
Definition: 
Die homogenen Coordinaten einer Ebene sind vier 
Zahlen, welche sich verhalten, wie die mit beliebigen, 
aber fest gewählten Constanten multiplicierten Abstände 
derselben von den vier Eckpuncten eines Tetraeders. 
Hiernach sind also die Ebenen des Tetraeders bezüglich durch 
die Gleichungeil gegeben: 
Uy = 0 , u 2 = 0 , u. s = 0 
u { — 0 , n., = 0 , u A = 0 
u 2 — 0, m 3 — 0 
u A = o 
u A — 0