§34. Fortsetzung. 
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der Transformation der homogenen in die gewöhnlichen Coordinaten 
den Nenner bildet, also die Gleichung 
-j- D 2 x 2 -f- D ä x 3 + D 4 x4 = 0. 
Für alle Pijncte dieser Ebene und nur für diese wird x — 00, y — 00, 
£ = 00; sie enthält also alle unendlich fernen Puncte des Raumes. 
Wir sehen somit, dafs die Gesamtheit aller unendlich fernen Puncte 
des Raumes durch eine lineare Gleichung dargestellt wird und werden 
so auch von dieser Seite zur Einführung des Begriffs der unendlich 
fernen Ebene geführt. Wir drücken damit nur kurz die analytische 
Thatsache aus, dafs die homogenen Coordinaten jedes Punctes, dessen 
Cartesische unendlich grofs sind, der obigen nach den homogenen 
Coordinaten linearen Gleichung genügen müssen. Und umgekehrt, 
dafs alle Puncte, deren homogene Coordinaten jener Gleichung ge 
nügen, unendlich grofse Cartesische Coordinaten besitzen. 
Indem wir die eine Seitenfläche des Fundamentaltetraeders mit 
der unendlich fernen Ebene zusammenfallen lassen, können wir das 
Parallel - Coordinatensystem als einen speciellen Fall des Tetraeder 
systems darstellen: Zu diesem Behufe wollen wir zunächst der De 
finition der homogenen Punctcoordinaten eine scheinbar allgemeinere 
Fassung geben. Es seien L u L 2 , _L 3 und L 4 vier Richtungslinien 
im Raume, von denen keine drei in derselben Ebene liegen, und jede 
derselben werde einer Seitenfläche des Fundamentaltetraeders zuge 
ordnet. Die Richtungslinie Ly bilde mit der Seitenfläche x x — 0 den 
Winkel a 1} L 2 mit x 2 = 0 den Winkel cc 2 u. s. f. Bezeichnen dann 
l\ } l 2 , k, die Längen der Geraden, welche von einem Puncte x if 
x 2 , x S} x 4 parallel den vier Richtungslinien L 1} L 2 , L 3 , L 4 bis zu 
den entsprechenden Seitenflächen des Tetraeders gezogen werden, so 
gehen aus den Gleichungen 
QXy ^iPi I 
qx 3 = A,jp 3 5 
die folgenden hervor: 
qx 2 — ^ 2 P 2 
QX4 — Á 4 p 4 
qx x — (A, sin Uy) ly ; qx 2 = (A 2 sin cc 2 ) l 2 
QX 3 = (A 2 sin a 3 ) ü 3 ; qx 4 = (A 4 sin a 4 ) l 4 . 
Indem wir an der Bedeutung der Constanten A festhalten, dafs die 
selben beliebige, aber festgewählte Constanten seien, ergeben sich 
zur Definition der homogenen Coordinaten die Gleichungen 
Q Xy = A 4 ly y qx 2 = A 2 Z 2 1 qx 3 == A 3 ? 3 5 qx 4 = A 4 Z 4 , 
worin die ly, l 2 , l 4 nicht mehr die Abstände des Punctes von den 
Tetraederflächen, sondern Längen auf den zu bestimmten Richtungs 
linien durch ihn gezogenen Parallelen bezeichnen. 
Setzen wir nun fest, dafs die eine der Constanten A etwa A, der 
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