118 II. Abschnitt. Sechstes Capitel. Die homogenen Coordinaten.
Wir erhalten dieselbe, indem wir jede der beiden identisch ver
schwindenden Determinanten
x x ,
x 2 ,
x 3 ,
x 4
»! ;
u 2 ,
4t 3 ,
u 4
x x ,
x 2 ,
x%,
X 4
= 0
»/,
4t 2 >
4t 3 ,
u 4
x x ,
X'i i
x 3 ,
X 4
u 4 ,
u 2 ,
»3»
u 4
X[ i
X<i )
X¡,
x 4
»0
»/,
4t 3 ,
u 4
nach dem La Place’schen Determinantensatze in ein Aggregat aus
Producten zweigliedriger Determinanten anflösen. Es ergeben sich
auf diese Weise die beiden Identitäten
P12P34 +PnP2i +PmP23'=°; M 34 + ^31^24 + ^14^23=0, (L)
WO also Pik ' X1 X k X k Xi , Q_ik 44/ Ufo 1 4t^4t/
ist.
Je sechs Gröfsen, p oder q, welche respective den Identitäten (1.)
genügen, bestimmen somit eine Gerade, und wir können dann diese
sechs Gröfsen p als die Coordinaten eines Strahles und die q als die
Coordinaten einer Axe betrachten.
§ 36. ,
Fortsetzung.
Die eben definierten Strahlen- und Axencoordinateit haben auch
eine einfache geometrische Bedeutung, aus der die Zweckmäfsigkeit
ihrer Wahl noch klarer hervorgehen wird.
Es sind nämlich die Strahleucoordinaten p die Coefficienten in
den homogenen Gleichungen der Ebenen, welche die Gerade von den
Eckpuncten des Tetraeders aus projicieren, und die Axencoordinaten
q die Coefficienten in den homogenen Gleichungen der Durchschnitts-
puncte der Geraden mit den Tetraederflächen. Denn sind x v x 2} x. i}
x 4 und 00 ^ y } OCß y oc^ • die homogenen Coordinaten zweier Puncte der
Geraden, so müssen die homogenen Coordinaten u l} u 2 , 4t 3 , u 4 = 0
der Ebene, welche durch diese beiden Puncte und die Ecke x { — 0,
x 2 — 0, x z = 0 hindurchgeht, die beiden Gleichungen befriedigen :
UyX4 -f- U 2 X 2 -f- U 3 x3 = 0
u x x x -f- u 2 x 2 -f- u 3 x 3 ' — 0 .
Daher ist
u i : u 2 : % — p 2 % : p Vi : p 2l •
Auf dieselbe Weise ergiebt sich das Verhältnis der Coordinaten der
Ebene v 4 , v 2 , 4> 3 = 0, v 4 , welche die Gerade aus der Ecke x 4 = 0,
x 2 = 0, x 4 = 0 projiciert:
v 4 :v 2 : v 4 = p 24 : — p u - Pn u - s - f -
In ganz analoger Weise erhärtet man die Behauptung über die
